📂기하학

기하학에서 접점과 횡단점

용어

두 매니폴드가 만나는 한 점을 $p$ 라 하자. 다음과 같이 두 매니폴드가 스치기만 하면 이 점을 접점^{tangent point}, 서로 가로지르면 횡단점^{transversal point}이라 한다.

설명

접점과 횡단점을 수학적으로 엄밀하게 정의하지 않고 그냥 ‘용어’로 설명하는 이유는 이러한 개념 자체가 수학 전반에서 별도로 정의하는 과정 없이 직관적으로 쓰이는 경우가 많기 때문이다.

예로써 $1$차원 매니폴드인 곡선의 경우에는 탄젠트 벡터로 정의할 수 있을 것 같지만 사실은 $p$ 에서 미분가능해야한다는 단서를 붙이게 되어 원래 논하고 싶은 개념을 모두 커버할 수 없게 된다. 기하적으로 접하냐 횡단하냐는 미분가능성과 아무 상관 없어야하며, 사실 이는 $n$차원 매니폴드로 일반화되어서도 마주하게 될 고질적인 문제다.

이에 더불어, 매니폴드의 차원이 서로 달라도 접점과 횡단점의 개념은 유효하다는 점도 주의해야한다. 예를 들어 곡면을 수직으로 꿰뚫는 곡선이 있다면 이들이 만나는 점은 횡단점이어야 하는데, 이런 이야기를 하려면 전제에서 매니폴드의 차원을 특정하지 않아야 한다.