📂추상대수

3대 작도 불능 문제 증명

정리 ¹

다음 세 가지 작도는 불가능하다.

• [1] Squaring the circle: 주어진 사각형과 같은 넓이의 원을 작도하라.
• [2] Doubling the cube: 주어진 정육면체의 부피가 두 배가 되는 정육면체를 작도하라.
• [3] Trisecting the angle: 주어진 각을 삼등분하라.

반증

오랫동안 기하학의 문제였으나 대수학으로써 풀린다는 것이 실로 경이롭다. 기본적으로 아래 보조정리의 대우명제를 사용한다.

작도가능수의 성질: $1$ 을 포함해 유한번의 사칙연산과 제곱근을 취함으로써 얻을 수 있는 수를 작도가능^{constructible}하다고 한다.

• (1): 작도가능수는 대수적 수다.
• (2): $\gamma \not\in \mathbb{Q}$ 이 작도가능하면 $i=2, \cdots , n$ 에 대해 $$ \left[ \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} , a_{i} \right) : \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} \right) \right] = 2 \\ \mathbb{Q} ( \gamma) = \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right) $$ 를 만족하는 유한수열 $\left\{ a_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ 이 존재해서 어떤 $r \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ \left[ \mathbb{Q} \left( \gamma \right) : \mathbb{Q} \right] = 2^{r} $$

[1]

넓이가 $\pi$ 인 원이 반례가 됨을 보이면 충분하다.

대수적 수와 초월수: 체 $F$ 의 확대체를 $E$ 라고 하자. 상수함수가 아닌 $f(x) \in F [ x ]$ 에 대해 $f( \alpha ) = 0$ 을 만족시키는 $\alpha \in E$ 를 $F$ 상에서 대수적^algebraic이라 하고, 대수적이지 않으면 초월적^{transcendental}이라 한다. $F = \mathbb{Q}$, $E = \mathbb{C}$ 이라고 할 때 $\alpha \in \mathbb{C}$ 가 대수적이면 대수적 수, 초월적이면 초월수라 한다.

정사각형의 넓이가 $\pi$ 가 되도록 하려면 한 변의 길이가 $\sqrt{\pi}$ 이어야하는데, 그러나 $\pi$ 는 $\mathbb{Q}$ 상에서 초월수이므로, 보조정리 (1)의 대우명제에 따라 작도불능이다. 따라서 그 제곱근인 $\sqrt{\pi}$ 역시 작도불능이다.

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[2]

부피가 $1$ 인 정육면체가 반례가 됨을 보이면 충분하다.

정육면체의 부피가 $2$ 가 되도록 하려면 한 모서리의 길이가 $\sqrt[3]{2}$ 이어야하는데, $$ 2^{r} = \left[ \mathbb{Q} \left( \sqrt[3]{2} \right) : \mathbb{Q} \right] = 3 $$ 을 만족시키는 $r \in \mathbb{N}$ 은 존재하지 않으므로 보조정리 (2)의 대우명제에 따라 $\sqrt[3]{2}$ 는 작도불능이다.

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[3]

크기가 $60^{\circ}$ 인 각이 반례가 됨을 보이면 충분하다.

삼각함수의 삼배각공식에 의해 $$ \cos 60^{\circ} = 4 \cos^{3} 20^{\circ} - 3 \cos 20^{\circ} $$ 이다. $\displaystyle \cos 60^{\circ} = {{1} \over {2}}$ 이므로, $\displaystyle \alpha := \cos 20^{\circ}$ 이라 두면 $$ 4 \alpha^3 - 3 \alpha = {{1} \over {2}} \implies 8 \alpha^3 - 6 \alpha - 1 = 0 $$ 즉 $\alpha$ 는 다항함수 $( 8 x^3 - 6 x - 1 ) \in \mathbb{Q} [ x ]$ 의 영이다. 이 정수계수 다항함수의 인수가 될 수 있는 후보는 $$ (8x \pm 1), (4x \pm 1), (2x \pm 1), (x \pm 1) $$ 뿐이다. 그러나 실제로 계산해보면 $$ \mp {{1} \over {8}} , \mp {{1} \over {4}} , \mp {{1} \over {2}} , \mp 1 $$ 중 영이 되는 것은 없다. $( 8 x^3 - 6 x - 1 )$ 가 $1$차항으로 인수분해되지 않는다는 것은 $2$차항을 인수로 갖지도 않는다는 것이다. 정리하면 $$ 2^{r} = \left[ \mathbb{Q} \left( \alpha \right) : \mathbb{Q} \right] = 3 $$ 이고, $2^r = 3$ 을 만족시키는 $r \in \mathbb{N}$ 은 존재하지 않는다. 보조정리 (2)의 대우명제에 따라 $\cos 20^{\circ}$ 는 작도불능이 되어 크기가 $60^{\circ}$ 로 주어진 각을 삼등분 할 수 없다.

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상식

특히 “Squre the circle"는 영미권에서 “불가능한 일을 하다” 내지 “말이 되는 소리를 해라"라는 뜻으로 쓰였다. 우리말로 치면 “팥으로 메주를 쒀라"같은 느낌으로 생각하면 된다.