📂추상대수

대수적 확대체

정의 ¹

$E$ 가 $F$ 의 확대체고 $n \in \mathbb{N}$ 이라 하자.

1. $E$ 의 모든 원소가 $F$ 상에서 대수적 수면 $E$ 를 $F$ 의 대수적 확대체라 한다.
2. $E$ 가 $F$ 상에서의 $n$차원 벡터 공간이면 $E$ 를 $F$ 상에서의 $n$ 차 유한확대체라 한다.
3. $F$ 상에서의 유한확대체 $E$ 의 차수 를 $[ E : F ]$ 와 같이 나타낸다.

정리

$E$ 가 $F$ 의 유한확대체, $K$ 가 $E$ 의 유한확대체라고 하자.

• [1]: 유한확대체는 대수적 확대체다.
• [2]: $$[E : F] = 1 \iff E = F$$
• [3]: $$[K : F] = [K : E ] [E : F]$$

설명

차수에 대한 감을 잡기 위해서 가장 친숙한 실수체와 유리수체를 살펴보자.

$\mathbb{R}$ 은 당연히 $[ \mathbb{R} : \mathbb{R} ] = 1$ 이므로 굳이 $1$ 차 실수체라고 불러도 상관 없다. 한편 복소수는 두 개의 독립적인 실수로 표현가능하므로 유클리드 공간 $ \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{C}$ 또는 허수 $i$ 를 첨가한 단순확대체 $\mathbb{R} ( i ) = \mathbb{C}$ 로 볼 수도 있다. 이에 대해 $[ \mathbb{C} : \mathbb{R} ] = 2$ 이므로 복소수체는 $2$ 차 실수체라고 불러도 좋다.

$\mathbb{Q}$ 에 무리수 $\sqrt{2}$ 를 첨가한 유한확대체 $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} )$ 는 $\mathbb{Q}$ 상에서 $\left\{ 1 , \sqrt{2} \right\}$ 를 기저로 가져서 차수는 $$ \left[ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) : \mathbb{Q} \right] = 2 $$ 가 된다. 이때 $\sqrt{3}$ 을 하나 더 첨가하면 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ 이므로 $\left( \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) \right) ( \sqrt{3} ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} )$ 의 기저는 $\left\{ 1 , \sqrt{2} , \sqrt{3} ,\sqrt{6} \right\}$ 이 된다. 따라서 $\mathbb{Q}$ 상에서의 차수를 계산해보면 $$ \left[ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) : \mathbb{Q} \right] = 4 $$ 을 얻는다.

여기서 $\sqrt{3}$ 대신 $2^{1/3}$ 을 첨가해보면 $\mathbb{Q} \left( 2^{1/2} , 2^{1/3} \right)$ 의 기저는 모든 조합을 고려해서 $\left\{ 1 , 2^{1/2} , 2^{1/3} , 2^{2/3} , 2^{5/6} , 2^{7/6} \right\}$ 와 같이 복잡하게 나타난다. 차수를 계산해보면 $$ \left[ \mathbb{Q} \left( 2^{1/2} , 2^{1/3} \right) : \mathbb{Q} \right] = 6 $$ 인데, 정리 [3]에 따라 다음과 같이 계산할 수 있다. $$ \left[ \mathbb{Q} \left( 2^{1/2} , 2^{1/3} \right) : \mathbb{Q} \right] = \left[ \mathbb{Q} \left( 2^{1/2} , 2^{1/3} \right) : \mathbb{Q} \left( 2^{1/6} \right) \right] \left[ \mathbb{Q} \left( 2^{1/6} \right) : \mathbb{Q} \right] $$ 우변에서 $\left[ \mathbb{Q} \left( 2^{1/6} \right) : \mathbb{Q} \right]$ 의 기저는 자명하게도 $\left\{ 1 , 2^{1/6} , 2^{2/6} , 2^{3/6} , 2^{4/6} , 2^{5/6} \right\}$ 이므로 $$ \left[ \mathbb{Q} \left( 2^{1/6} \right) : \mathbb{Q} \right] = 6 $$ 이다. 정리하면 $$ \left[ \mathbb{Q} \left( 2^{1/2} , 2^{1/3} \right) : \mathbb{Q} \left( 2^{1/6} \right) \right] = 1 $$ 이므로, 정리 [2]에 의해 $$ \mathbb{Q} \left( 2^{1/2} , 2^{1/3} \right) = \mathbb{Q} \left( 2^{1/6} \right) $$ 이라는 결론을 얻을 수 있다.