📂추상대수

실수체로 복소수체를 만들어내는 대수적인 방법

정리 ¹

$$ \mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> \simeq \mathbb{C} $$

설명

팩트로만 보면 당연하고 실수체에서 복소수체를 만들어내는 과정이 상당히 아름답다.

$\mathbb{R} [x ]$ 를 $\left< x^2 \right>$ 로 자르든 $\left< x^2 + x \right>$ 로 자르든 원소의 모양새는 $ax + b$ 꼴로 나오겠지만 하필 $\left< x^2 + 1 \right>$ 로 자르는 이유가 있다. 적어도 한 번은 직접 증명해보면서 이 아름다움을 만끽하도록 하자.

증명

$\left( x^2 + 1 \right)$ 은 $F$ 상에서의 기약원이므로 $\left< x^2 + 1 \right>$ 은 $\mathbb{R} [ x ]$ 의 극대 아이디얼이고, 따라서 $\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right>$ 은 체다.

$\mathbb{R}$ 의 확대체 $\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right>$ 는 그 원소로써 $(ax + b) + \left< x^2 + 1 \right>$ 와 같은 잉여류를 원소로 갖는다. 이 모든 원소가 $a,b \in \mathbb{R}$ 와 어떤 $\alpha$ 에 대해 $a + b \alpha$ 와 같이 나타날 수 있으므로 $$ \mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> = \mathbb{R} ( \alpha ) $$ 는 단순확대체다.

구체적으로 $\alpha := x + \left< x^2 + 1 \right>$ 라고 해보면 $$ \begin{align*} & \alpha^2 = \left( x + \left< x^2 + 1 \right> \right)^2 \\ \implies& \alpha^2 + 1 = \left( x^2 + \left< x^2 + 1 \right> \right) + \left( 1 + \left< x^2 + 1 \right> \right) \\ \implies& \alpha^2 + 1 = \left( x^2 + 1 \right) + \left< x^2 + 1 \right> = \left< x^2 + 1 \right> = 0 + \left< x^2 + 1 \right> \end{align*} $$ $\alpha$ 는 $\left( x^2 + 1 \right)$ 의 영이므로 사실상 $\alpha$ 가 허수 $i$ 와 같은 역할을 하게 되고, 다음이 성립한다. $$ \mathbb{R} ( \alpha ) \simeq \mathbb{C} $$

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