콘과 컨벡스 콘의 정의
📂선형대수콘과 컨벡스 콘의 정의
정의
콘
벡터공간 V 의 부분집합 C⊂V 가 모든 스칼라 a>0 와 x∈C 에 대해 다음을 만족하면 C 를 콘cone이라 한다.
ax∈C
평평한 콘과 돌출된 콘
콘 V 가 어떤 영벡터가 아닌 v∈V 에 대해 −v∈V 를 만족하면 평평한 콘flat cone이라 하고, 그렇지 않으면 돌출된 콘salient cone이라 한다.
컨벡스 콘
콘 C⊂V 가 모든 스칼라 a,b>0 와 x,y∈C 에 대해 다음을 만족하면 C 를 컨벡스 콘convex cone이라 한다.
ax+by∈C
뾰족한 콘과 뭉툭한 콘
컨벡스 콘이 영벡터 0 을 포함하면 뾰족한 콘pointed cone이라 하고, 그렇지 않으면 뭉툭한 콘blunt cone이라 한다.
설명
정의에 따르면 콘의 모든 원소는 영벡터 0 을 시점으로 늘였다 줄였다 할 수 있는 모든 벡터를 모은 집합이고, 그 벡터의 유의미한 종류는 유한하든 무한하든 추상적으로 전혀 문제 없다. 예로써 유클리드 공간을 생각해보면 임의의 반직선은 R1 에서 콘이고, 제1사분면은 R2 에서 콘이면서 사실 모두 컨벡스 콘이기도 하다.
콘이 평평하다는 것은 쉽게 말해 적어도 1이상의 차원을 가지는 부분벡터공간를 가지는지의 여부와 같다. 예를 들어 R2 에서 x-축과 평행한 직선은 x 방향과 −x 방향의 두 벡터를 모두 포함하므로 평평한 콘인데, 이는 평면 속에서 평평하게 뻗은 직선이라는 점에서 직관과 일치하는 명명임을 알 수 있다. 콘이 돌출된다는 것은 우리가 흔히 기하적으로 생각하는 뿔cone처럼 돌출된 모양이라는 것이다.
컨벡스 콘 C 가 돌출되었다는 것은 C∩C={0} 과 동치다.
정리
컨벡스 콘의 부분순서
뾰족하고 돌출된 컨벡스 콘 C 에서는 다음과 같이 부분순서 ≥⊂C2 를 정의할 수 있다.
x≥y⟺x−y∈C∀x,y∈C
증명
관계 ≥ 가 추이적, 반사적, 반대칭적임을 보이면 된다.
(추이)
⟺⟹⟺x≥y∧y≥zx−y∈C∧y−z∈Cx−z=(x−y)+(y−z)∈Cx≥z
(반사) C 가 뾰족하다는 것은 영벡터가 C 에 포함되어 있다는 것이다.
x≥x⟺x−x=0∈C
(반대칭) C 가 돌출되었다는 것은 C 가 어떤 벡터 z 에 대해 덧셈의 역원 −z 를 포함하지 않든다는 것이다.
⟺x≥y∧y≥xx−y∈C∧y−x∈C
영벡터가 아닌 (x−y) 에 대해 (y−x) 가 그 역원이어서는 안 되므로, x=y 이어야만 한다.
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같이보기
- 컨벡스 헐
- 유한 콘: Rn 에서 임의의 α>0 가 아닌 유한한 바운드가 주어진 도형이다.