콘과 컨벡스 콘의 정의
정의 1
콘
벡터공간 $V$ 의 부분집합 $C \subset V$ 가 모든 스칼라 $a > 0$ 와 $x \in C$ 에 대해 다음을 만족하면 $C$ 를 콘cone이라 한다. $$ ax \in C $$
평평한 콘과 돌출된 콘
콘 $V$ 가 어떤 영벡터가 아닌 $\mathbf{v} \in V$ 에 대해 $-\mathbf{v} \in V$ 를 만족하면 평평한 콘flat cone이라 하고, 그렇지 않으면 돌출된 콘salient cone이라 한다.
컨벡스 콘
콘 $C \subset V$ 가 모든 스칼라 $a, b > 0$ 와 $x, y \in C$ 에 대해 다음을 만족하면 $C$ 를 컨벡스 콘convex cone이라 한다. $$ ax + by \in C $$
뾰족한 콘과 뭉툭한 콘
컨벡스 콘이 영벡터 $\mathbf{0}$ 을 포함하면 뾰족한 콘pointed cone이라 하고, 그렇지 않으면 뭉툭한 콘blunt cone이라 한다.
설명
정의에 따르면 콘의 모든 원소는 영벡터 $\mathbf{0}$ 을 시점으로 늘였다 줄였다 할 수 있는 모든 벡터를 모은 집합이고, 그 벡터의 유의미한 종류는 유한하든 무한하든 추상적으로 전혀 문제 없다. 예로써 유클리드 공간을 생각해보면 임의의 반직선은 $\mathbb{R}^{1}$ 에서 콘이고, 제1사분면은 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 콘이면서 사실 모두 컨벡스 콘이기도 하다.
콘이 평평하다는 것은 쉽게 말해 적어도 $1$이상의 차원을 가지는 부분벡터공간를 가지는지의 여부와 같다. 예를 들어 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 $x$-축과 평행한 직선은 $x$ 방향과 $-x$ 방향의 두 벡터를 모두 포함하므로 평평한 콘인데, 이는 평면 속에서 평평하게 뻗은 직선이라는 점에서 직관과 일치하는 명명임을 알 수 있다. 콘이 돌출된다는 것은 우리가 흔히 기하적으로 생각하는 뿔cone처럼 돌출된 모양이라는 것이다.
컨벡스 콘 $C$ 가 돌출되었다는 것은 $C \cap C = \left\{ \mathbf{0} \right\}$ 과 동치다.
정리
컨벡스 콘의 부분순서
뾰족하고 돌출된 컨벡스 콘 $C$ 에서는 다음과 같이 부분순서 $\ge \subset C^{2}$ 를 정의할 수 있다. $$ x \ge y \iff x - y \in C \qquad \forall x, y \in C $$
증명
관계 $\ge$ 가 추이적, 반사적, 반대칭적임을 보이면 된다.
(추이) $$ \begin{align*} & x \ge y \land y \ge z \\ \iff & x - y \in C \land y - z \in C \\ \implies & x - z = (x - y) + (y - z) \in C \\ \iff & x \ge z \end{align*} $$
(반사) $C$ 가 뾰족하다는 것은 영벡터가 $C$ 에 포함되어 있다는 것이다. $$ x \ge x \iff x - x = \mathbf{0} \in C $$
(반대칭) $C$ 가 돌출되었다는 것은 $C$ 가 어떤 벡터 $z$ 에 대해 덧셈의 역원 $-z$ 를 포함하지 않든다는 것이다. $$ \begin{align*} & x \ge y \land y \ge x \\ \iff & x - y \in C \land y - x \in C \end{align*} $$ 영벡터가 아닌 $(x-y)$ 에 대해 $(y-x)$ 가 그 역원이어서는 안 되므로, $x = y$ 이어야만 한다.
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