📂추상대수

확대체의 정의와 크로네커 정리 증명

확대체의 정의 ¹

체 $F$ 에 대해 $F \le E$ 인 $E$ 를 $F$ 의 확대체^{extension field}라 한다.

크로네커 정리

$f(x) \in F [ x ]$ 가 상수가 아니라고 하면 $F$ 의 확대체 $E$ 와 $f ( \alpha ) = 0$ 인 $\alpha \in E$ 가 존재한다.

설명

확대체의 예로써 $\mathbb{C}$ 는 $\mathbb{R}$ 의 확대체다. 크로네커의 정리는 당장 $F$ 에서는 다항함수의 근이 존재하지 않을지라도 정의역을 $E$ 로 키울 수 있고, 키우면 근이 존재함을 함의한다. $F$ 가 어떻게 생겼는지도 모르면서 무작정 확장하면 근이 존재할 것이라는 스테이트먼트 자체가 너무나 수학다운 정리다.

증명

Part 1. $f(x)$ 는 상수함수가 아니므로 $F$ 상에서의 기약원들로 유일하게 인수분해되고, 그 기약원 중 하나를 $p(x)$ 라고 하자. 그러면 주 아이디얼 $\left< p(x) \right>$ 은 $F [ x ]$ 의 극대 아이디얼이고, $F [ x ] / \left< p(x) \right>$ 은 체가 된다.

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Part 2. 확대체 $E$ 의 존재성

사상 $\psi : F \to F [ x ] / \left< p(x) \right>$ 를 다음과 같이 정의하면 $\psi$ 는 자연스럽게 준동형사상이 된다. $$ \psi (a) := a + \left< p(x) \right> $$

만약 어떤 $a,b \in F$ 에 대해 $\psi (a) = \psi (b)$ 면 $$ a + \left< p(x) \right> = b + \left< p(x) \right> $$ 이므로 $(b-a) \in \left< p(x) \right>$ 인데, 이는 $(b-a)$ 가 $p(x)$ 의 상수배임을 의미한다. 그런데 애초부터 $a, b \in F$ 이므로 $(b-a) \in F$ 고, 동시에 $(b-a)$ 가 $p(x)$ 의 상수배 가 되려면 $(b-a) = 0$ 이어야만한다. 따라서 $\psi$ 는 단사가 되고, $\psi$ 는 $F$ 의 각 원소를 $F [ x ] / \left< p(x) \right>$ 의 어떤 부분체로 보내주는 동형사상이 된다. 여기서 구체적으로 $E := F [ x ] / \left< p(x) \right>$ 라고 정의하면 $E$ 가 $F$ 의 확대체가 된다.

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Part 3. 근 $\alpha \in E$ 의 존재성

$\alpha : = x + \left< p(x) \right>$ 이라고 하면 일단 $\alpha$ $\in E$ 이다. 이 $\alpha$ 에 대해 대입함수 $\phi_{\alpha} : F [ x ] \to E$ 를 정의하자. 위에서 기약원으로 정했던 $p(x) \in F [ x ]$ 를 구체적으로 $p(x) := a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$ 이라고 나타내보면

$$ \begin{align*} p ( \alpha) =& \phi_{\alpha} ( p(x) ) \\ =& a_{0} + a_{1} ( x + \left< p(x) \right> ) + \cdots + a_{n} ( x + \left< p(x) \right> )^n \\ =& a_{0} + a_{1} ( x + \left< p(x) \right> ) + \cdots + a_{n} ( x^n + \left< p(x) \right> ) \\ =& \left( a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^n \right) + \left< p(x) \right> \\ =& p(x) + \left< p(x) \right> \\ =& 0 + \left< p(x) \right> \end{align*} $$

따라서 $F [ x ] / \left< p(x) \right>$ 에서 $p( \alpha ) = 0$ 이고 $\alpha$ 는 $f ( \alpha ) = 0$ 를 만족한다.

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