📂동역학

새들-노드 바이퍼케이션

정의

쉬운 정의

새들-노드 바이퍼케이션^{saddle-node bifurcation}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 고정점이 생성 혹은 소멸하는 바이퍼케이션이다¹.

어려운 정의

$$ \dot{x} = f \left( x , r \right) \qquad , x \in \mathbb{R}^{n} , r \in \mathbb{R}^{1} $$ 주어진 동역학계의 $f$ 가 $x$ 와 $\alpha$ 에 대해 스무스하다고 하자. $\bar{x}$ 가 이 시스템의 하이퍼볼릭한 고정점이라고 할 때, 그 자코비안 행렬 $D f \left( \bar{x} \right)$ 의 고유값 중 하나를 $\lambda_{k}$ 이라 하자. $\lambda_{k} = 0$ 이 나타나거나 사라지는 것에 연관된 바이퍼케이션을 새들-노드 바이퍼케이션이라고 한다².

노멀 폼

새들-노드 바이퍼케이션은 다음의 노멀 폼을 가진다: $$ \dot{x} = r + x^{2} $$

다이어그램

새들-노드 바이퍼케이션의 바이퍼케이션 다이어그램은 다음과 같다:

설명

새들-노드 바이퍼케이션은 바이퍼케이션을 설명할 때 가장 먼저 대표적으로 언급된다. 폴드 바이퍼케이션^{fold bifurcation} 혹은 탄젠트 바이퍼케이션^{tangent bifurcation} 혹은 블루 스카이 바이퍼케이션^{blue sky bifurcation} 이라고도 하며, 특히 그 바이퍼케이션 포인트를 터닝 포인트^{turning point} 혹은 한계점^{limit point}라 부르기도 한다.

폴드?

바이퍼케이션 다이어그램에서 볼 수 있듯 커브가 접히는 모양이기 때문에 붙은 별명이다. 특히 이는 이력 현상과 관련된 맥락에서 더 효과적인 워딩이다.

블루 스카이?

말 그대로 파란 하늘(마른 하늘)에서 벼락이 떨어지듯 고정점이 갑자기 생겨나기 때문에 쓰일 수 있는 표현이다³. 바이퍼케이션 다이어그램에서 $r > 0$ 였다가 $r$ 을 서서히 감소시키는 방향을 생각해보면, 기존에는 고정점이 없다가 $r = 0$ 에서 새들 노드가 갑자기 등장한다.