📂힐베르트공간

직교 분해 정리 증명

정리¹

$\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$를 힐베르트 공간이라 하자. 그러면 $H$의 닫힌 부분공간 $M$에 대해서

$$ H = M \oplus M^{\perp} $$

따름정리

$$ \left( M^{\perp} \right)^{\perp} = M $$

따름정리로써 $\left( M^{\perp} \right)^{\perp} := \left\{ \mathbf{x} \in H \mid \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{m}^{\perp} \right\rangle = 0 , \mathbf{m}^{\perp} \in M^{\perp} \right\}$ 에 대해 위의 사실을 증명해낼 수 있다.

설명

$M^{\perp } := \left\{ \mathbf{x} \in H \mid \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{m} \right\rangle = 0 , \mathbf{m} \in M \right\}$ 을 $M$ 의 직교여집합이라고 한다. 직교성만큼이나 유용한 성질도 흔치 않다. 힐베르트 공간이 이를 보장한다는 것은 곧 힐베르트 공간이 좋은 공간이라는 말이 된다.

한편 증명과정에 최단 벡터 정리가 쓰이기 때문에 힐베르트 공간이 아닌 내적공간에 대해서는 성립하지 않는다.

증명

전략: 증명과정은 단순히 직합으로 나타날 조건을 보일 뿐이다.

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$\mathbf{x} \in M$ 이라고 하면 $\mathbf{x} = \mathbf{x} + \mathbb{0}$ 이므로 증명할 게 없다. 따라서 $\mathbf{x} \in H$이고 $\mathbf{x} \notin M$이라 하자. 그러면 $M \lneq H$ 이고, $M$ 이 닫힌 집합이므로 최단 벡터 정리를 사용할 수 있다.

최단 벡터 정리: $H$를 힐베르트 공간이라고 하자. $M \lneq H$ 을 공집합이 아니고 닫힌 컨벡스 부분집합이라고 하자. 그러면 $\mathbf{x} \in ( H \setminus M)$ 에 대해

$$ \delta := \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \| = \inf_{\mathbf{m} \in M} \| \mathbf{x} - \mathbf{m} \| > 0 $$

을 만족하는 $\mathbf{m}_{0} \in M$가 유일하게 존재한다.

어떤 $\mathbf{m} \in M$ 에 대해 $t := \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0 } , \mathbf{m} \right\rangle \in \mathbb{C}$ 라고 두자.

• Case 1. $t = 0$

  $\left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0 } , \mathbf{m} \right\rangle = t = 0$ 이므로 $( \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} ) \in M^{ \perp }$

• Case 2. $t \ne 0$

  모든 $\lambda \in \mathbb{C}$ 에 대해

  $$ \begin{align*} \delta^2 \le & \| \mathbf{x}_{0} - ( \mathbf{m}_{0} - \lambda \mathbf{m} ) \|^2 \\ =& \left\langle (\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) + \lambda \mathbf{m} , (\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) + \lambda \mathbf{m} \right\rangle \\ =& \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \|^2 + \overline{ \lambda } \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , \mathbf{m} \right\rangle + \lambda \left\langle \mathbf{m} , \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \right\rangle + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 \\ =& \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \|^2 + \overline{ \lambda } \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , \mathbf{m} \right\rangle + \overline{ \overline{\lambda} \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , \mathbf{m} \right\rangle } + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 \\ =& \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \|^2 + \overline{ \lambda } t + \overline{ \overline{\lambda} t } + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 \\ =& \delta^2 + 2 \operatorname{Re} ( \overline{ \lambda } t ) + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 \end{align*} $$

  양변에서 $\delta^2$ 를 빼면

  $$ 0 \le 2 \operatorname{Re} ( \overline{ \lambda } t ) + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 $$

  을 얻는다. 여기서 $\operatorname{Re} ( \overline{ \lambda } t )$ 은 $\overline{ \lambda } t$ 의 실수부를 의미한다.

  • Case 2-1. $\| \mathbf{m} \| = 1$

    $$ 0 \le 2 \operatorname{Re} ( \overline{ \lambda } t ) + | \lambda |^2 $$

    위 부등식은 모든 $\lambda \in \mathbb{C}$ 에 대해 성립하므로 $\lambda = -t$ 라고 하면

    $$ 0 \le 2 \operatorname{Re} ( \overline{ -t } \cdot t ) + | t |^2 = - 2 | t |^2 + | t |^2 = -| t |^2 $$

    즉 $|t| = 0$ 이므로 $t = 0$ 이어야하는데, 이것은 Case 2. 의 가정에 모순이다.

  • Case 2-2. $\| \mathbf{m} \| \ne 1$

    $$ \begin{align*} t =& \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , \mathbf{m} \right\rangle \\ =& \| \mathbf{m} \| \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , {{\mathbf{m}} \over { \| \mathbf{m} \| }} \right\rangle \\ =& \| \mathbf{m} \| \cdot 0 \\ =& 0 \end{align*} $$

    즉 $t = 0$ 인데, 이것도 Case 2. 의 가정에 모순이다.

결국 어찌되든 Case 1. 에 의해 $t = 0$ 이어야만한다. 그 말은 최단 벡터 정리에 의해 존재성이 보장된 $\mathbf{m}_{0} \in M$ 에 대해 $(\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) \in M^{\perp}$ 이라는 것이다. 따라서 어떤 $\mathbf{x} \in H$ 든 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{x} = \mathbf{m}_{0} + (\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) \in M + M^{ \perp } $$

이제 유일성을 보이기 위해 $\mathbf{m}_{1} , \mathbf{m}_{2} \in M$, $z_{1} , z_{2} \in M^{\perp}$ 에 대해

$$ \mathbf{x} = \mathbf{m}_{1} + z_{1} = \mathbf{m}_{2} + z_{2} $$

라고 두자. 그러면

$$ \mathbf{m}_{1} - \mathbf{m}_{2} = z_{2} - z_{1} \in \left( M \cap M^{\perp} \right) = \left\{ \mathbb{0} \right\} $$

다시 말해

$$ \mathbf{m}_{1} - \mathbf{m}_{2} = \mathbb{0} \implies \mathbf{m}_{1} = \mathbf{m}_{2} \implies z_{2} = z_{1} $$

이고, $\mathbf{x}$ 를 나타내는 방법은 유일함을 알 수 있다.

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따름정리

• $( \subset )$

  $y \in \left( M^{\perp} \right)^{\perp}$ 이면 $\left\langle y , \mathbf{m}^{\perp} \right\rangle = 0$ 이고, $y = \mathbb{0}$ 이거나 $y \notin M^{\perp}$ 이다. 그런데 직교 분해 정리에 의해 $H = M \oplus M^{\perp}$ 이므로 반드시 $y \in M$ 이어야하고,

  $$ \left( M^{\perp} \right)^{\perp} \subset M $$

• $( \supset )$

  $\mathbf{m} \in M$ 이면 $\left\langle \mathbf{m} , \mathbf{m}^{\perp} \right\rangle = 0$ 이고, $\mathbf{m} \in \left( M^{\perp} \right)^{\perp}$ 이므로

  $$ M \subset \left( M^{\perp} \right)^{\perp} $$

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