📂행렬대수

크레이머 법칙 증명

개요

크레이머 공식^{cramer rule}은 연립방정식을 제대로 풀어내는데에 효율적이라곤 할 수 없지만 $A_{j}$ 가 비가역행렬이라거나 $A$ 자체가 행렬식을 구하기 편리하도록 특정한 조건이 주어져있다면 필요한 답만 바로바로 구해내는데 충분히 유용하게 쓰일 수 있다.

정리

연립방정식 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 이 가역행렬 $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$ 과 두 벡터 $$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}, \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$$ 로 세워져있다고 하자. $A$ 의 $j$ 번째 열을 $\mathbf{b}$ 로 대체한 행렬을 $A_{j}$ 라고 하면 $$x_{j} = {{ \det A_{j} } \over { \det A }}$$

증명

$A$ 의 $i,j$-여인자를 $C_{ij}$ 라고 하자.

선택된 $j$열 에 대해, $\displaystyle \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$

$A$ 의 $j$열은 $a_{1j} , a_{2j} , \cdots , a_{nj}$ 이므로 라플라스 전개에 따라

$$\det A = a_{1j} C_{1j} + a_{2j} C_{2j} + \cdots + a_{nj} C_{nj}$$

한편 $A$ 의 $k \ne j$열은 $a_{1k} , a_{2k} , \cdots , a_{nk}$ 인데, $a_{1k} C_{1j} + a_{2k} C_{2j} + \cdots + a_{nk} C_{nj}$ 은 적어도 두 개의 같은 열 $a_{1k} , a_{2k} , \cdots , a_{nk}$ 을 가진 행렬의 행렬식과 같으므로

$$a_{1k} C_{1j} + a_{2k} C_{2j} + \cdots + a_{nk} C_{nj} = 0$$

연립방정식 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 를 풀어헤쳐보면

$$\begin{align*} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1j} x_{j} + \cdots + a_{1n} x_{n} =& b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2j} x_{j} + \cdots + a_{2n} x_{n} =& b_{2} \\ &\vdots \\ a_{n1} x_{1} + a_{n2} x_{2} + \cdots + a_{nj} x_{j} + \cdots + a_{nn} x_{n} =& b_{n} \end{align*}$$

각 $i$번째 식의 양변에 $C_{ij}$ 를 곱해주면

$$\begin{align*} a_{11} x_{1} C_{1j} + a_{12} x_{2} C_{1j} + \cdots + a_{1j} x_{j} C_{1j} + \cdots + a_{1n} x_{n} C_{1j} =& b_{1} C_{1j} \\ a_{21} x_{1} C_{2j} + a_{22} x_{2} C_{2j} + \cdots + a_{2j} x_{j} C_{2j}+ \cdots + a_{2n} x_{n} C_{2j} &= b_{2} C_{2j} \\ &\vdots \\ a_{n1} x_{1} C_{nj} + a_{n2} x_{2} C_{nj} + \cdots + a_{nj} x_{j} C_{nj} + \cdots + a_{nn} x_{n} C_{nj} &= b_{n} C_{nj} \end{align*}$$

좌변을 모두 더하면 가운데의 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ij} x_{j} C_{ij} = \det A$ 를 제외하고는 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ik} x_{j} C_{ik} = 0$ 으로 모두 사라져서

$$\sum_{i=1}^{n} a_{ij} x_{j} C_{ij} = b_{1} C_{1j} + b_{2} C_{2j} + \cdots + b_{n} C_{nj}$$ 을 얻는다. 그런데 $A_{j}$ 은 $j$열이 $b_{1} , b_{2} , \cdots , b_{n}$ 으로 대체된 행렬이므로

$$\det A_{j} = b_{1} C_{1j} + b_{2} C_{2j} + \cdots + b_{n} C_{nj}$$

여기서 $x_{j}$를 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ 밖으로 빼내면

$$x_{j} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \det A_{j}$$

정리하면 $\displaystyle x_{j} \det A = \det A_{j}$ 이고, $A$ 는 가역행렬으로 가정했으므로 $\det A \ne 0$ 이다. 따라서

$$x_{j} = {{ \det A_{j} } \over {\det A}}$$

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