📂힐베르트공간

함수해석학에서 힐베르트 공간

정의¹

완비 내적 공간을 힐베르트 공간^{hilbert space}라고 한다. 힐베르트의 이름을 따서 주로 $H$라고 표기한다.

설명

완비 공간이란, 모든 코시수열이 수렴하는 공간을 말한다. 바나흐 공간도 완비공간이므로, 힐베르트 공간을 내적이 주어지는 바나흐 공간이라고 설명할 수도 있다. 예시로는 다음과 같은 공간들이 있다.

• 르벡 공간 $L^{2}$
• $\ell^{2}$ 공간
• 실수 공간 $\mathbb{R}^{n}$
• 복소수 공간 $\mathbb{C}^{n}$

성질

• 힐베르트 공간은 균등하게 볼록하다
• 최단 벡터 정리
• 직교 분해 정리
• 리즈 표현 정리