📂수치해석

A-스테이블

빌드업

미드포인트 메소드를 비롯한 멀티스텝 메소드는 $h$ 가 충분히 작지 않을 때 패러사이틱 솔루션이 있을 수 있다. 충분히 작지 않다는 건 $ y ' = \lambda y$ 와 같은 문제가 있을 때 $| 1 + h \lambda| <1$ 과 같은 조건을 만족하지 못하는 등의 경우를 말한다.

$z : = h \lambda \in \mathbb{C}$ 라고 할 때 위의 조건을 복소평면 상에 나타내보면 아래의 그림과 같다.

$z$ 이 이 영역에 속하지 못하면 메소드가 제대로 돌아가지 않는데, $\lambda = - 10^{6}$ 와 같이 크기가 극단적으로 큰 경우엔 $h$ 가 어지간히 작지 않고서야 써먹을 게 못된다. 그렇다고 $h$ 를 무작정 줄이면 계산 소요가 너무 커져서 실용적이지 않다.

그래서 이런 영역은 가능한 넓은 게 좋은데, 아담스-몰튼 메소드와 같은 경우 차수를 올릴수록 계산이 정확하지만 안정성을 보장하기 위한 영역이 좁아진다는 단점이 있다.

정의 ¹

반면 모든 $\operatorname{Re} ( h \lambda ) <0$ 에 대해서 안정성을 보장받는 메소드를 A-스테이블^a-stable 하다고 한다. 이러한 메소드들은 $h$ 에 어떠한 제한이 없으므로 많은 문제를 안정적으로 풀어낼 수 있다는 장점을 가진다.

정리

• [1]: $2$ 차 이상의 A-stable 멀티스텝 메소드는 존재하지 않는다.
• [2]: 모든 수렴차수에 대해 A-stable 원스텝 메소드가 존재한다.

A-스테이블에 대해서는 위의 두 가지 팩트가 알려져있다.