📂수리통계학

최고사후밀도 신용구간

정의 ¹

모수공간 $\Theta$ 의 부분집합 $C \subset \Theta$ 가 유의수준 $\alpha$ 에 대해 $C : = \left\{ \theta \in \Theta \ | \ p ( \theta | y ) \ge k (\alpha) \right\}$ 를 자료 $y$ 가 주어졌을 때 $\theta$ 에 대한 $100(1 - \alpha)$ 최고사후밀도 신용구간^hPD이라고 한다.

---

• 여기서 $k(\alpha)$ 는 $p(\theta \in C | y ) \ge 1 - \alpha$ 를 만족하는 가장 큰 상수다.

설명

수식과 말보다는 그림을 통해 보는게 훨씬 이해하기 좋다.

실제 계산에서도 위와 같이 $k$ 를 계속 바꿔가며 적분값이 $1 - \alpha$ 에 근사하도록 찾는 수치적인 방법을 사용한다.

• 첫번째는 너무 좁게 잡아서 신용구간 자체가 되지 못한다.
• 두번째는 보수적으로 넓은 구간을 택해서 신용구간은 되지만 범위가 너무 넓어서 쓸모가 없다.
• 세번째 녹색 부분의 넓이가 $1 - \alpha$ 라면 이때 구해진 구간을 HPD(최고사후밀도) 신용구간이라고 한다.

이러한 구간들이 신용구간이 된다는 설명은 [표본평균과 표준오차에 의존하곤 했던 신뢰구간에 비해 훨씬 직관적](../752)이다.

등꼬리 신용구간

한편 이러한 HPD 신용구간은 실제 계산이 무척 어려워서 등꼬리 신용구간^{equal Tail Credible Interval}이라는 것도 사용된다. 등꼬리 신용구간은 그 이름에서 알 수 있듯 $$\int_{-\infty}^{ a } p(\theta | y) d \theta = \int_{b}^{ \infty } p(\theta | y) d \theta = {{ \alpha } \over {2}}$$ 가 되도록하는 $[a,b]$ 를 말한다.