📂동역학

콰지피리어딕 오빗

정의

유계면서 어심토티컬리 피리어딕이 아닌 오빗이 초기조건에 민감^{sensitive dependence on initial condition}하지 않으면 이 오빗을 콰지피리어딕^{quasiperiodic}하다고 말한다¹. 혹은 상미분방정식으로 표현되는 동역학계의 플로우 $\phi (t)$ 가 시간 $t$ 에 대해 콰지피리어딕 함수일 때, $\phi (t)$ 의 아무 점이나 지나는 오빗을 콰지피리어딕 오빗이라 할 수도 있다².

설명

콰지피리어딕한 오빗은 피리어딕하지는 않지만 그렇다고 캐어릭하지도 않은 오빗을 설명하기 위해 필요한 개념이라 볼 수 있다.

모듈로

$$f (x) = x + q \pmod{1}$$ 구간 $[0, 1]$ 에서 맵 $f$ 가 위와 같이 모듈로를 통해 정의되어 있다고 하자. 만약 $q$ 가 무리수라면 이 시스템에서의 모든 오빗은 초기조건이 무엇이든 피리어딕이 아니지만, 그 랴푸노프 지수는 $0$ 으로 간단히 계산된다. 실제로도 그 오빗들은 초기조건에 민감하지 않으며, 모두 콰지피리어딕하다.

토러스 ³

$$\begin{align*} \dot{\theta}_{1} =& \omega_{1} \\ \dot{\theta}_{2} =& \omega_{2} \end{align*}$$ 토러스 $T$ 에서 미분방정식이 위와 같이 정의되어 있다고 하자. 이 시스템의 스테이트는 일정한 속도 $\omega_{1}$ 와 $\omega_{2}$ 로 한 점이 계속해서 이동하게 되는데, 만약 비 $\omega_{1} / \omega_{2}$ 가 유리수라면 반드시 피리어딕하고 무리수라면 끊임 없이 토러스를 감으며 닫히지 않게 된다. 비가 무리수일 때 주기성이 없다는 건 맞지만 그렇다고 초기조건에 민감한 것은 아니므로, 콰지피리어딕하다.