logo

n계 도함수의 라플라스 변환 📂상미분방정식

n계 도함수의 라플라스 변환

정리1

아래의 두 조건을 가정하자.

  1. 임의의 구간 0tA0 \le t \le A에서 함수 ff, ff^{\prime}, \cdots, f(n1)f^{(n-1)}가 연속이고 n계 도함수 f(n)(t)f^{(n)}(t)부분적으로 연속이라고 하자.
  2. tMt \ge M일 때 f(t)Keat|f(t)| \le Ke^{at}, f(t)Keat|f^{\prime}(t)| \le Ke^{at}, \cdots, f(n1)(t)Keat|f^{(n-1)}(t)| \le Ke^{at}를 만족하는 실수 aa와 양수 KK, MM이 존재한다.

그러면 ff의 n계 도함수의 라플라스 변환 L{f(n)(t)}\mathcal{L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\}s>as>a일 때 존재하고 그 값은 아래와 같다.

L{f(n)(t)}=snL{f(t)}sn1f(0)sn2f(0)sf(n2)(0)f(n1)(0) \mathcal {L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f^{\prime}(0) -\cdots -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)

설명

1계 도함수일 때의 결과를 반복해서 적용하면 어렵지 않게 이끌어 낼 수 있다.

증명

  • 2계 도함수

    L{f(t)}=sL{f(t)}f(0)=s(sL{f(t)}f(0))f(0)=s2L{f(t)}sf(0)f(0) \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} -f^{\prime}(0) \\ &= s\Big( s\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -f(0) \Big) -f^{\prime}(0) \\ &= s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \end{align*}

  • 3계 도함수 L{f(3)(t)}=sL{f(t)}f(0)=s(s2L{f(t)}sf(0)f(0))f(0)=s3L{f(t)}s2f(0)sf(0)f(0) \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{(3)}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} -f^{\prime \prime}(0) \\ &= s\Big( s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \Big) -f^{\prime \prime}(0) \\ &= s^3\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -s^2f(0) -sf^{\prime}(0) -f^{\prime \prime}(0) \end{align*}

따라서 위와 같은 과정을 반복하면 n계 도함수의 라플라스 변환을 다음과 같이 구할 수 있다.

L{f(n)(t)}=snL{f(t)}sn1f(0)sn2f(0)sf(n2)(0)f(n1)(0) \mathcal {L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f^{\prime}(0) -\cdots -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p249 ↩︎