n계 도함수의 라플라스 변환
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정리
아래의 두 조건을 가정하자.
- 임의의 구간 0≤t≤A에서 함수 f, f′, ⋯, f(n−1)가 연속이고 n계 도함수 f(n)(t)가 부분적으로 연속이라고 하자.
- t≥M일 때 ∣f(t)∣≤Keat, ∣f′(t)∣≤Keat, ⋯, ∣f(n−1)(t)∣≤Keat를 만족하는 실수 a와 양수 K, M이 존재한다.
그러면 f의 n계 도함수의 라플라스 변환 L{f(n)(t)}가 s>a일 때 존재하고 그 값은 아래와 같다.
L{f(n)(t)}=snL{f(t)}−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)
설명
1계 도함수일 때의 결과를 반복해서 적용하면 어렵지 않게 이끌어 낼 수 있다.
증명
2계 도함수
L{f′′(t)}=sL{f′(t)}−f′(0)=s(sL{f(t)}−f(0))−f′(0)=s2L{f(t)}−sf(0)−f′(0)
3계 도함수
L{f(3)(t)}=sL{f′′(t)}−f′′(0)=s(s2L{f(t)}−sf(0)−f′(0))−f′′(0)=s3L{f(t)}−s2f(0)−sf′(0)−f′′(0)
따라서 위와 같은 과정을 반복하면 n계 도함수의 라플라스 변환을 다음과 같이 구할 수 있다.
L{f(n)(t)}=snL{f(t)}−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)
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