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라플라스 변환의 정의와 존재성 증명

정의¹

함수 $f$의 라플라스 변환을 아래와 같이 정의한다.

$$\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} := \int _{0}^\infty e^{-st}f(t) dt =F(s)$$

설명

라플라스 변환은 커널이 지수함수인 적분 변환이다

라플라스 변환을 이상적분으로 정의했기 때문에 수렴해야 라플라스 변환이 존재한다. 결론부터 말하자면 우리가 흔히 다루는 함수들은 전부 라플라스 변환이 가능하다. 상수함수, 다항함수, 지수함수, 삼각함수, 쌍곡함수 등은 라플라스 변환이 존재한다.

정리

아래의 두 조건을 가정하자.

1. 함수 $f$가 구간 $0 \le t \le A$에서 부분적으로 연속이라고 하자. $A$는 임의의 양수이다.
2. $t \ge M$일 때 $|f(t)| \le Ke^{at}$를 만족하는 실수 $a$와 양수 $K$, $M$이 존재한다.

그러면 $f(t)$의 라플라스 변환

$$\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} =\int_{0}^\infty e^{-st}f(t)dt=F(s)$$

는 $s>a$일 때 존재한다.

설명

조건의 $a$를 지수적 차수^{exponential order} 라고 한다.

증명

가정2. 에 의해 $t \ge M$에 대해서 $|f(t)| \le Ke^{at}$이다. 양변에 $e^{-st}$를 곱하면

$$|e^{-st}f(t)| \le Ke^{-(s-a)t}$$

보조 정리²

아래의 조건을 가정하자.

• 함수 $f$가 $t \ge \tau$일 때 부분적으로 연속이다.
• 어떤 양수 $M$에 대해서 $t \ge M$일 때 $|f(t)| \le g(t)$를 만족한다.
• $\displaystyle \int _{M} ^\infty g(t) dt$가 수렴한다.

그러면 $\displaystyle \int _\tau ^\infty f(t)dt$도 수렴한다.

보조 정리에 따르면 $\displaystyle \int _{M} ^\infty Ke^{-(s-a)t}dt$가 수렴할 때 $\displaystyle \int _{0} ^\infty e^{-st} f(t) dt$도 수렴한다. 보조 정리의 조건을 증명에서 사용하는 대로 대입해보면

$$g(t)=Ke^{-(s-a)t},\quad f(t)=e^{-st}f(t),\quad \tau=0$$

이제 $\displaystyle \int _{M} ^\infty Ke^{-(s-a)t}dt$가 수렴하는지만 확인하면 증명 끝이다.

$$\begin{align*} \int _{M} ^\infty Ke^{-(s-a)t}dt &= K\lim _{B \to \infty} \int _{M} ^B e^{-(s-a)t}dt \\ &= K\lim _{B \to \infty} \frac{1}{a-s}\left[ e^{-(s-a)t} \right]_{M}^B \\ &= K \lim _{B \to \infty} \frac{1}{a-s} \left( e^{-(s-a)B }- e^{-(s-a)M} \right) \end{align*}$$

여기서 $s-a>0$이라면 $\displaystyle \lim _{B \to \infty} e^{-(s-a)B }=0$이 되어 이상적분 $\displaystyle \int _{M} ^\infty Ke^{-(s-a)t}dt$가 수렴한다. 따라서 보조 정리에 의해 $\displaystyle \int _{0} ^\infty e^{-st} f(t) dt$도 수렴한다.

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