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등거리 사상

정의

두 거리공간 $(X,\ d_X), (Y,\ d_Y)$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 사상 $f : X \to Y$가 존재하면 $X$와 $Y$가 아이소메트릭^isometric이라 하고 $X \approx Y$라고 표기한다. 또한 사상 $f$를 등거리 사상^{isomertic map, isometry} 이라 한다.

$$ d_X(x_1,\ x_2) =d_Y\big( f(x_1),\ f(x_2) \big),\quad \forall\ x_1,x_2\in X $$

설명

등거리 사상은 이름 그대로 거리를 보존하는 사상이다. 따라서 등거리사상이 존재하는 두 공간은 ‘사실상’ 같다고 볼 수 있다. 또한 등거리 사상은 정의로부터 자연스럽게 일대일 함수가 된다.

놈 공간에서

만약 $X$와 $Y$가 놈 공간이라면 아래와 거리가 정의되기 때문에 등거리 사상은 놈을 보존하는 사상이 된다.

$$ d_X(x_1,x_2) = \|x_1-x_2\|_X $$

정의¹

$(X, \left\| \cdot \right\|_{X}), (Y, \left\| \cdot \right\|_{Y})$를 놈 공간이라고 하자. $X$와 $Y$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 선형 작용소 $L\ : X \to Y$ 이 존재하면 $L$ 을 등거리동형사상^{isometric isomorphism}이라 한다. 또한 $X$와 $Y$가 등거리동형^{isometrically isomorphic}이라 한다.

$$ \|x\|_X = \|L(x)\|_Y, \quad \forall\ x\in X $$

성질

등거리사상에 대해서 다음과 같은 사실이 성립한다.

• 등거리사상은 일대일 함수다.
• 등거리사상은 호메오몰피즘이다.
• $\approx$ 는 동치관계다.
• 등거리사상은 임베딩이다.

증명

$x_1,x_2\in X$이고 $f(x_1)=f(x_2)$라고 하자. 그러면 거리의 정의에 의해서 $d_Y\big( f(x_1),\ f(x_2) \big)=0$이다. $f$는 거리를 보존하므로 $d_X(x_1,\ x_2)=0$이고 마찬가지로 거리의 정의에 의해서 $x_1=x_2$이다. $f(x_1)=f(x_2)$이면 $x_1=x_2$이므로 $f$ 는 일대일 함수다.

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