📂수치해석

일관성을 가지는 멀티스텝 메소드의 수렴성과 루트 컨디션

정리

만약 멀티스텝 메소드가 일관성을 가진다고 하면, 메소드는 수렴성을 가진다 $\iff$ 메소드는 루트 컨디션을 만족 시킨다

설명

폐구간 $[x_{0} , b]$ 에 대해 $h$ 를 단위로 잘라서 노드 포인트를 만들 때, $x_{0} \le x_{1} \le \cdots \le x_{N(h) -1} \le x_{N(h) } \le b$ 라고 하자. 여기서 $N(h)$ 는 $h$ 에 따라 변하는 마지막 노드 포인트의 인덱스를 나타낸다.

메소드가 수렴성을 가진다는 것은 $h \to 0$ 일 때 $\displaystyle \eta (h) : = \max_{0 \le n \le p} | Y_{n} - y_{ n} | \to 0$ 이면, $h \to 0$ 일 때 $\displaystyle \max_{x_{0} \le x_{n} \le b } | Y_{n} - y_{ n} | \to 0$ 이라는 것이다.

증명 ¹

일관성을 가지는 멀티스텝 메소드: 초기값 문제 $\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ ( y( x_{0} ) , \cdots , y(x_{p}) ) = (Y_{0}, \cdots , Y_{p} ) \end{cases}$ 에 대해 멀티스텝 메소드 $$ y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) $$ 는 다음을 만족한다. $$ \begin{cases} \displaystyle \sum_{j = 0}^{p} a_{j} = 1 \\ \displaystyle - \sum_{j = 0}^{p} j a_{j} + \sum_{j = -1}^{p} b_{j} = 1 \end{cases} $$

루트 컨디션: 일관성을 가진 멀티스텝 메소드에 대해 $\displaystyle \rho ( r) = r^{p+1} - \sum_{j=0}^{p} a_{j} r^{p-j}$ 라고 하자. 방정식 $\rho (r ) = 0$ 의 근 $r_{0} , \cdots , r_{p}$ 들이 다음 조건들을 만족시킬 때, 주어진 멀티스텝 메소드는 루트 컨디션^{root condition}을 만족시킨다고 한다.

• (i): $| r_{j} | \le 1$
• (ii): $|r_{j}| = 1 \implies \rho ‘(r_{j}) \ne 0$

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$(\Rightarrow)$

메소드가 수렴성을 가짐에도 루트 컨디션을 만족시키지 않는다고 가정해보자.이 가정에 대해 초기값 문제 $\begin{cases} y ' = 0 \\ y(0) = 0 \end{cases}$ 가 반례가 됨을 보일 것이다.

주어진 문제의 트루 솔루션은 자명하게도 모든 $n \ge 0$ 에 대해 $Y_{n} = 0$ 이다.

그리고 $f = 0$ 이므로 뉴메리컬 솔루션은 $\displaystyle y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n - j}$ 이다. 그 중에서도 $y_{0} , \cdots , y_{p}$ 가 $h \to 0$ 일 때 $$ \eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | Y_{n} - y_{ n} | = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | \to 0 $$ 을 만족한다고 하자.이때 어떤 $0 \le j \le p$ 에 대해 다음의 두 가지 경우를 생각해보자.

• Case 1.
  (i)을 만족하지 않아 $ j$ 에 대해 $|r_{j}| > 1$ 인 경우$\displaystyle y_n = h r_{j} ^n$ 은 $h \to 0$ 일 때 $$ \eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h \left| r_{j} \right| ^{p} \to 0 $$ 를 만족시킨다. 그러나 $h \to 0$ 일 때 $N(h) \to \infty$ 이므로 $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} \right| ^{N (h) } \to \infty $$ 따라서 메소드는 수렴성을 가지지 못한다.
• Case 2.
  (ii)를 만족하지 않아 $ j$ 에 대해 $|r_{j}| = 1 \implies \rho’(r_{j}) = 0$ 인 경우이는 $|r_{j}| = 1$ 이면 $r_{j}$ 이 특성방정식의 중근이라는 의미로, 중근인 $r_{j}$ 가 적어도 하나 존재한다. 따라서 파티큘러 솔루션 $n r_{j}^{n}$ 이 존재해서 $\displaystyle y_n = h n r_{j} ^n$ 은 $h \to 0$ 일 때 $$ \eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h p \left| r_{j} \right| ^{p} \to 0 $$ 를 만족시키고, $\displaystyle y_n = h \left[ r_{j} (0) \right]^n$ 은 $h \to 0$ 일 때 $$ \eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{p} \to 0 $$ 를 만족시킨다. 그러나 $h \to 0$ 일 때 $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{N (h) } \to \infty $$ 따라서 메소드는 수렴성을 가지지 못한다.

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$(\Leftarrow)$ 원래의 증명이 지나치게 어려워서 많은 비약이 있다².

$e_{n} : = Y_{n} -y_{n}$ 이라고 하면 비동차 선형미분방정식 $Y = y + e$ 을 푸는 것으로 생각할 수 있다.

반대로 $y = Y - e$ 는 동차 선형미분방정식이 된다. $$ \begin{align} y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) \end{align} $$

$$ \begin{align} Y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} Y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , Y_{n-j} ) \end{align} $$ $(1)$ 에서 $(2)$ 를 빼면 $$ e_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} a_{j} e_{n-j} + h \sum_{j= -1}^{p} b_{j} \left[ f(x_{n-j} , Y_{n- j }) - f(x_{n-j} , y_{n- j }) \right] $$ 을 얻는다. $Y_{n} = d_{0} s_{0}^{n} + d_{1} s_{1}^{n} + \cdots + d_{p} s_{p}^{n}$ 이라고 하면 $$ e_{n} = g_{0} ( r_{0} + s_{0} )^n + g_{1} ( r_{1} + s_{1} )^n + \cdots + g_{p} ( r_{p} + s_{p} )^n $$ 주어진 메소드는 $N \ge p$ 일 때 $$ e_{N} = g_{0} ( r_{0} + s_{0} )^N + g_{1} ( r_{1} + s_{1} )^N + \cdots + g_{p} ( r_{p} + s_{p} )^N $$ 의 $( r_{0} + s_{0} ) , \cdots , ( r_{p} + s_{p} )$ 에 대해서도 루트 컨디션을 만족하므로, $$ \begin{align*} | e_{N} | & =& | g_{0} | | r_{0} + s_{0} |^N + | g_{1} | | r_{1} + s_{1} | ^N + \cdots + | g_{p} | | r_{p} + s_{p} |^N \\ \le & \max_{0 \le n \le p} | Y_{ n} - y_{n} | \end{align*} $$ 여기서 $h \to 0$ 일 때 $\displaystyle \max_{0 \le n \le p} | Y_{ n} - y_{n} | \to 0$ 임을 가정한다면 $e_{N} \to 0$ 이므로 $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{N (h) } \to 0 $$ 이어야하고, 따라서 메소드는 수렴성을 갖는다.

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