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라플라스 변환의 선형성

정리¹

$f_{1}$과 $f_2$를 라플라스 변환이 존재하는 함수라고 하자. 그리고 $c_{1}, c_2$를 임의의 상수라고 하자.그러면

$$ \mathcal{L} \left\{ c_{1}f_{1} + c_2f_2 \right\} = c_{1}\mathcal{L} \left\{f_{1} \right\} + c_2\mathcal{L} \left\{f_2 \right\} $$

설명

라플라스 변환이 적분변환이라 당연하다.

증명

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ c_{1}f_{1}+c_2f_2 \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st} \left( c_{1}f_{1}+c_2f_2 \right) dt \\ &= \int_{0}^\infty e^{-st}c_{1}f_{1} dt + \int _{0}^\infty e^{-st}c_2f_2 dt \\ &= c_{1}\int_{0}^\infty e^{-st}f_{1} dt + c_2\int _{0}^\infty e^{-st}f_2 dt \\ &= c_{1}\mathcal{ L} \left\{ f_{1} \right\} + c_2 \mathcal{ L} \left\{ f_2 \right\} \end{align*} $$

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