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라플라스 변환의 선형성 📂상미분방정식

라플라스 변환의 선형성

정리1

f1f_{1}f2f_2를 라플라스 변환이 존재하는 함수라고 하자. 그리고 c1,c2c_{1}, c_2를 임의의 상수라고 하자.그러면

L{c1f1+c2f2}=c1L{f1}+c2L{f2} \mathcal{L} \left\{ c_{1}f_{1} + c_2f_2 \right\} = c_{1}\mathcal{L} \left\{f_{1} \right\} + c_2\mathcal{L} \left\{f_2 \right\}

설명

라플라스 변환이 적분변환이라 당연하다.

증명

L{c1f1+c2f2}=0est(c1f1+c2f2)dt=0estc1f1dt+0estc2f2dt=c10estf1dt+c20estf2dt=c1L{f1}+c2L{f2} \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ c_{1}f_{1}+c_2f_2 \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st} \left( c_{1}f_{1}+c_2f_2 \right) dt \\ &= \int_{0}^\infty e^{-st}c_{1}f_{1} dt + \int _{0}^\infty e^{-st}c_2f_2 dt \\ &= c_{1}\int_{0}^\infty e^{-st}f_{1} dt + c_2\int _{0}^\infty e^{-st}f_2 dt \\ &= c_{1}\mathcal{ L} \left\{ f_{1} \right\} + c_2 \mathcal{ L} \left\{ f_2 \right\} \end{align*}


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p246 ↩︎