📂수치해석

멀티스텝 메소드의 루트 컨디션

정의 ¹

멀티스텝 메소드: $D \subset \mathbb{R}^2$ 에서 정의된 연속함수 $f$ 에 대해 초기값 문제 $\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ ( y( x_{0} ) , \cdots , y(x_{p}) ) = (Y_{0}, \cdots , Y_{p} ) \end{cases}$ 가 주어져 있다. 구간 $(a,b)$ 을 $a \le x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} < \cdots x_{N} \le b$ 와 같은 노드 포인트들로 쪼갰다고 하자. 특히 충분히 작은 $h > 0$ 에 대해 $x_{j} = x_{0} + j h$ 이라고 하면 초기값과 $0 \le p \le m$ 에 대해 $a_{p} \ne 0$ 혹은 $b_{p} \ne 0$ 이면 다음을 $(p+1)$-스텝 메소드라고 한다. $$ y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) $$

멀티스텝 메소드의 일관성: 멀티스텝 메소드가 일관성을 가지는 필요충분조건은 $\begin{cases} \displaystyle \sum_{j = 0}^{p} a_{j} = 1 \\ \displaystyle - \sum_{j = 0}^{p} j a_{j} + \sum_{j = -1}^{p} b_{j} = 1 \end{cases}$

일관성을 가진 멀티스텝 메소드에 대해 $\displaystyle \rho ( r) = r^{p+1} - \sum_{j=0}^{p} a_{j} r^{p-j}$ 라고 하자. 방정식 $\rho (r ) = 0$ 의 근 $r_{0} , \cdots , r_{p}$ 들이 다음 조건들을 만족시킬 때, 주어진 멀티스텝 메소드는 루트 컨디션^{root condition}을 만족시킨다고 한다.

• (i): $| r_{j} | \le 1$
• (ii): $|r_{j}| = 1 \implies \rho ‘(r_{j}) \ne 0$

설명

(i)은 모든 근이 복소평면상의 유닛 서클 $\left\{ z \ | \ |z| \le 1 \right\}$ 안에 속함을 의미한다. (ii)는 $\left\{ z \ | \ |z| \le 1 \right\}$ 의 바운더리에 있는 근이 중근이 아님을 의미한다.

일관성이라는 조건이 있다면 $\displaystyle \sum_{j = 0}^{p} a_{j} = 1$ 이므로, 자명한 근 $r_{0} = 1$ 를 가지고 시작할 수 있다. 이러한 루트 컨디션은 일관성을 가진 멀티스텝 메소드에서 수렴성Convergency과 동치이면서 안정성Stability과도 동치다. 패러사이틱 솔루션은 루트 컨디션에 정면으로 위배되는 예시로, 패러사이틱 솔루션이 있으면 약한 안정성을 가진다고 했다.

위와 같이 설명된 동치관계에서 우리는 다음의 따름 정리를 얻는다.

정리

만약 멀티스텝 메소드가 일관성을 가진다고 하면, 메소드는 안정성을 가진다 $\iff$ 메소드는 수렴성을 가진다