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환의 영인자가 멱등원이면 직합으로 나타낼 수 있다 📂추상대수

환의 영인자가 멱등원이면 직합으로 나타낼 수 있다

정리

단위원 11 을 가지는 환 RR 의 영인자 aa 가 a2=aa^2 = a 를 만족하면, 즉 멱등원이면 RR 은 aRaR 과 (1−a)R(1-a)R 의 유일한 직곱으로 나타난다. R=aR×(1−a)R R = a R \times (1-a)R

설명

따로 환에 대한 직합을 정의하지 않아도 알 수 있을 정도로 수학다운 매력이 있는 정리다.

증명

Part (i). 존재성

r∈Rr \in R 에 대해 ar∈aR(1−a)r∈(1−a)R ar \in aR \\ (1-a) r \in (1-a) R 이며, r=ar+(1−a)rr = ar + (1-a)r 이므로 R=aR×(1−a)RR = a R \times (1-a)R 다.

Part (ii). 유일성

r1,r2,r3,r4∈Rr_{1}, r_{2}, r_{3} , r_{4} \in R 에 대해 ar1=x1∈aRar3=x2∈aR(1−a)r2=y1∈(1−a)R(1−a)r4=y2∈(1−a)R \begin{align*} a r_{1} =& x_{1} \in aR \\ a r_{3} =& x_{2} \in aR \\ (1-a) r_{2} =& y_{1} \in (1-a) R \\ (1-a) r_{4} =& y_{2} \in (1-a) R \end{align*} 이라 두고 x1=x2x_{1} = x_{2} 와 y1=y2y_{1} = y_{2} 를 보이면 된다. x1+y1=x2+y2  ⟹  ar1+(1−a)r2=ar3+(1−a)r4  ⟹  a2r1+a(1−a)r2=a2r3+a(1−a)r4 \begin{align*} & x_{1} + y_{1} = x_{2} + y_{2} \\ \implies& a r_{1} + (1-a) r_{2} = a r_{3} + (1-a) r_{4} \\ \implies& a^2 r_{1} + a(1-a) r_{2} = a^2 r_{3} + a(1-a) r_{4} \end{align*} a2=aa^2 = a 이고 a(1−a)=a−a2=a−a=0a(1-a) = a - a^2 = a-a = 0 이므로, x1=ar1=a2r1=a2r3=ar3=x2 x_{1} = a r_{1} = a^2 r_{1} = a^2 r_{3} = a r_{3} = x_{2} 이다. 마찬가지로 ar1+(1−a)r2=ar3+(1−a)r4 a r_{1} + (1-a) r_{2} = a r_{3} + (1-a) r_{4} 이고 ar1=ar3a r_{1} = a r_{3} 이므로 (1−a)r2=(1−a)r4 (1-a) r_{2} = (1-a) r_{4} 따라서 다음을 얻는다. y1=(1−a)r2=(1−a)r4=y2 y_{1} = (1-a) r_{2} = (1-a) r_{4} = y_{2}

Part (iii). 배타성

x∈aR∩(1−a)Rx \in aR \cap (1-a)R 이라고 하면 어떤 r1,r2∈Rr_{1} , r_{2} \in R 에 대해서 x=ar1=(1−a)r2 x = a r_{1} = (1-a) r_{2} 이다. 양변에 aa 를 곱하면 ax=a2r1=a(1−a)r2=(a−a2)r2=0⋅r2=0 ax = a^2 r_{1} = a(1-a) r_{2} = (a - a^2) r_{2} = 0 \cdot r_{2} = 0 이다. x=ar1=a2r1=0x=a r_{1} = a^2 r_{1} = 0 이므로 다음을 얻는다. aR∩(1−a)R={0} aR \cap (1-a)R = \left\{ 0 \right\}

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