📂바나흐공간

선형작용소의 성질

정리 ¹

$T : (X , \left\| \cdot \right\|_{X}) \to ( Y , \left\| \cdot \right\|_{Y} )$ 가 선형작용소라고 하자.

(a) $T$가 유계이면 모든 $x \in X$ 에 대해 $\left\| T(x) \right\|_{Y} \le \left\| T \right\| \left\| x \right\|_{X}$

(b) $T$는 연속 $\iff$ $T$ 는 유계

(c) $X$가 유한 차원 공간이면 $T$ 는 연속이다.

(d) $Y$가 바나흐 공간이면 $( B(X,Y) , \| \cdot \| )$는 바나흐 공간이다.

설명

$B(X,Y)$ 는 유계 선형작용소들의 공간이므로 (b) 에 의해 이 공간의 작용소들은 모두 연속임을 알 수 있다. 선형인것만 해도 쓸만한데 연속일 뿐만 아니라 컴플리트라면 어마어마하게 좋은 공간인 것은 확실하다.

**(a)**는 굉장히 자주 사용하는데, 큰 문제가 없다면 보통은 그냥 $\| Tx \| \le \| T \| \| x \| $ 라 쓴다.

(d) 에서 놈 $\| \cdot \|$는 작용소 놈이다.

증명

(a)

Strategy: $\| x \|_{X}$ 가 스칼라라는 점을 이용해 $T$ 의 안팎으로 넘나든다.

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$T$ 가 유계이므로 어떤 $c> 0$ 에 대해

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} \le c $$

$\| x \|_{X}$ 는 스칼라고 $T$ 는 선형이므로

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} =\left\| {{1} \over {\| x \|_{X} }} T \left( x \right) \right\|_{Y} = \left\| T \left( {{x} \over {\| x \|_{X} }} \right) \right\|_{Y} $$

작용소놈의 정의에서 $\left\| T \right\| = \sup \limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left\| T(x) \right\|_{Y}$ 이므로

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} = \left\| T \left( {{x} \over {\| x \|_{X} }} \right) \right\|_{Y} \le \sup \limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left\| T(x) \right\|_{Y} = \| T \| $$

양변에 스칼라 $\| x \|_{X}$ 를 곱하면

$$ \| T(x) \|_{Y} \le \| T \| \| x \|_{X} $$

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(b)

Strategy: $(\impliedby)$ 입실론-델타 논법으로 직접 연역한다. $(\implies)$ 귀류법을 사용하며 연속성에 따르면 가정에 모순이 될 수열을 만들어낸다.

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• $(\impliedby)$

  $T = 0$ 이면 당연히 연속이므로, $T \ne 0$ 인 경우를 생각해보자. 임의의 $x_{0} \in X$ 에 대해 $\| x - x_{0} \| < \delta$ 이라고 하자.

  $T$ 는 유계 선형작용소이므로 (a) 에 의해

  $$ \| Tx - Tx_{0} \| = \| T ( x - x_{0} ) \| \le \| T \| \| x - x_{0} \| < \| T \| \delta $$

  임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\displaystyle \delta = {{ \varepsilon } \over { \| T \| }}$ 이라고 잡으면 $\| Tx - Tx_{0} \| < \varepsilon$ 이므로 $T$ 는 연속이다.

• $(\implies)$

  $\| T \| = \infty$ 라고 가정해보면

  $$ \| x_{n} \| = 1 $$

  $$ \lim_{n \to \infty} \| T x_{n} \| = \infty $$

  를 만족하는 $X$ 의 시퀀스 $\left\{ x_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} }$ 이 존재한다. 이에 대해 $\displaystyle z_{n} := {{x_{n}} \over { \sqrt{ \| Tx_{n} \| } }}$ 을 정의해보면

  $$ \lim_{n \to \infty} z_{n} = 0 $$

  $T$ 는 연속이므로

  $$ 0 = \lim_{n \to \infty} \| T( 0 ) \| = \left\| T \left( \lim_{n \to \infty} z_{n} \right) \right\| = \lim_{n \to \infty} \| T( z_{n} ) \| = \lim_{n \to \infty} \left\| T \left( {{x_{n}} \over { \sqrt{ \| Tx_{n} \| } }} \right) \right\|= \lim_{n \to \infty} \sqrt{ \| T(x_{n} ) \| } = \infty $$

  이는 가정에 모순이므로 $T$는 유계다.

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(c)

Strategy: (b) 에 의해 연속성을 보이려면 유계임을 보이는 것으로 충분하다. 유한 차원 공간의 성질을 이용하면 $T$ 가 유계임을 보이는 것은 비교적 간단하다.

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$\dim X = n$ 이라고 하면 $X$ 는 베이시스 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 를 갖고 임의의 $x \in X$ 는 $t_{i} \in \mathbb{C}$ 에 대해

$$ x = \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} $$

$T$ 는 선형작용소이므로

$$ Tx = T \left( \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right) = \sum_{i=1}^{n} | t_{i} | T \left( e_{i} \right) $$

각 변에 놈 $\| \cdot \|_{Y}$ 을 취하면

$$ \begin{equation} \| Tx \|_{Y} = \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} T \left( e_{i} \right) \right\|_{Y} \le \sum_{i=1}^{n} | t_{i} | \| T ( e_{i} ) \|_{Y} \le \max_{1 \le i \le n} \| T ( e_{i} ) \|_{Y} \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} | \end{equation} $$

이제 새로운 놈 $\displaystyle \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} := \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} |$ 을 정의하자. 유한 차원 벡터스페이스에서 정의된 놈은 모두 동치이므로

$$ C \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} \le \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{X} $$

을 만족하는 $C>0$ 가 존재한다. 따라서

$$ \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} | = \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} \le {{1} \over {C}} \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{X} = {{1} \over {C}} \| x \|_{X} $$

$(1)$ 에 적용하면

$$ \| T x \|_{Y} \le {{1} \over {C}} \max_{1 \le i \le n} \| T(e_{i} ) \|_{Y} \cdot \| x \|_{X} $$

따라서 $\displaystyle \| T \| \le {{1} \over {C}} \max_{1 \le i \le n} \| T(e_{i} ) \|_{Y} < \infty$ 인데, $T$ 는 유계 선형작용소이므로 (b) 에 의해 연속이다.

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(d)

Strategy: 바나흐 공간 $Y$ 에서 완비성을 끌어내 $T(x) \in T(X) \subset Y$ 에 대한 논의로 바꾼다.

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• Part 1. 놈 공간 $( B(X,Y) , \| \cdot \| )$ 에 대해 $\| \cdot \|$ 은 다음의 조건들을 만족시킨다. $T \in B(X,Y)$에 대해,

  (i): $$ \| T \| = \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T(x) \| \ge 0 $$

  (ii): $$ \| T \| = \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T(x) \| = 0 \iff T = 0 $$

  (iii): $$ \| \lambda T \| = \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| \lambda T(x) \| =\sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \lambda \| T(x) \| = \lambda \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T(x) \| $$

  (iv): $$ \begin{align*} \| T_{1} + T_{2} \| =& \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| (T_{1} + T_{2})(x) \| \\ \le & \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left( \| T_{1} (x) \| + \| T_{2}(x) \| \right) \\ \le & \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T_{1}(x) \| + \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \| T_{2}(x) \| \end{align*} $$

• Part 2. 완비성

  $B(X,Y)$ 의 코시 시퀀스 $\left\{ T_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 정의하면 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해

  $$ \| T_{n} - T_{m} \| < \varepsilon $$

  (a) 에 따라 모든 $x \in X$ 에 대해

  $$ \| T_{n} x - T_{m} x \| = \| ( T_{n} - T_{m} ) x \| \le \| T_{n} - T_{m} \| \| x \| < \varepsilon \| x \| $$

  따라서 $\left\{ T_{n}x \right\}$ 는 $Y$ 의 코시 수열이다. 가정에서 $Y$는 컴플리트이므로 어떤 $Tx \in Y$ 에 대해

  $$ \lim_{m \to \infty } T_{m}x = Tx $$

  다시 (a) 에 따라 모든 $x \in X$ 에 대해

  $$ \| T_{n} x - T x \| = \left\| T_{n} x - \lim_{m \to \infty} T_{m} x \right\| = \lim_{m \to \infty} \left\| T_{n} x - T_{m} x \right\| < \varepsilon \| x \| $$

  모든 $x \in X$ 에 대해 $\displaystyle {{ \| ( T_{n} - T ) x \| } \over { \| x \| }} < \epsilon$ 이므로

  $$ ( T_{n} - T ) \in B(X,Y) $$

  한편 Part 1 에서 $B(X,Y)$ 가 벡터 스페이스임을 보였으므로

  $$ T = T_{n} - ( T_{n} - T ) \in B(X,Y) $$

  이제 $\| x \| = 1$ 에 대해 생각해보면 모든 $x \in X$ 에 대해 $\displaystyle {{ \| ( T_{n} - T ) x \| } \over { \| x \| }} < \epsilon$ 이므로

  $$ \| T_{n} - T \| = \sup\limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} {{ \| ( T_{n} - T ) x \| } \over { \| x \| }} < \varepsilon $$

  모든 코시 시퀀스 $\left\{ T_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} $ 이 $n \to \infty$ 일 때 어떤 $T \in B(X,Y)$ 로 수렴하므로 $B(X,Y)$ 는 컴플리트다.

• Part 3.

  $B(X,Y)$ 는 컴플리트 놈드 스페이스이므로 바나흐 공간이다.

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