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함수해석학에서 작용소란

정의¹

$(X, \left\| \cdot \right\|_{X}), (Y, \left\| \cdot \right\|_{Y})$를 놈 공간이라고 하자.

1. 놈 공간에서 놈 공간으로의 사상을 작용소^operator라 한다.

2. $x,x_{1},x_{2}\in X$ 에 대해서, $T : X \to Y$가 $$ T( x_{1} + x_{2} ) = T( x_{1} ) + T( x_{2} ) \quad \text{and} \quad T( a x ) = a T( x ) $$ 를 만족하면 선형 작용소라고 한다.

3. 모든 $x \in X$ 에 대해 $\left\| T(x) \right\|_{Y} \le C \left\| x \right\|_{X}$를 만족하는 $C \ge 0$가 존재하면 $T$가 유계^bounded라고 한다.

4. 3.을 만족하는 $C$중에서 가장 작은 $C$를 $T$의 오퍼레이터 놈^{operator norm}이라 정의하고 다음과 같이 표기한다. $$ \left\| T \right\| :=\min \left\{ C : \left\| T(x) \right\|_{Y} \le C \left\| x \right\|_{X} \right\} $$

5. 유계 선형작용소 $T : X \to Y$를 모두 모아놓은 집합을 $B(X,Y)$와 같이 나타낸다.

설명

벡터공간에서 벡터공간으로의 사상을 특별히 변환이라고 부르는 것처럼, 놈 공간에서 놈 공간으로의 함수를 특별히 오퍼레이터(작용소) 라고 한다.

여러 교재에서 편의를 위해 벡터공간 사이의 임의의 함수 $X \to Y$를 변환이라고 부르고, $X \to X$와 같은 변환을 작용소라고 부른다.

4.의 정의로부터 다음을 얻는다.

$$ \left\| T \right\| = \sup \limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left\| T(x) \right\|_{Y} $$

이를 $T$의 놈이라 정의하기도 한다. $\left\| x \right\|_{X}=1$이라는 조건이 왜 존재하는지 이해가되지 않았다면 3.을 생각해보면 된다.

작용소는 대수적으로는 연산을 보존하는 호모몰피즘^homomorphism이며, 당연히 이에 대한 정리도 모두 갖다 쓸 수 있다.

연산자라는 표현 대신 작용소라는 표현을 쓰는 것은 이제 ‘연산’같은 것보다는 어떤 공간에서 ‘작용’이란 것에 관심을 두어 수학적으로 추상화하고 다루기 위함이다. 당장 회전변환같은 것을 생각해보면 공간 상에서 어떤 점을 회전 시켜서 움직이는 걸로 볼 수 있다. 물론 좌표를 벡터로 취하고 행렬을 곱해서 ‘계산’한 결과를 얻는다는 설명도 맞지만, 점의 위치를 ‘옮기는’ 행동으로 생각한다면 작용소라는 표현도 충분히 적절하다.

이로써 우리는 주어진 공간 속에서 벡터로 표현되는 수학적인 객체들에 어떤 ‘작용 $T$ 를 가한다’는 식의 표현을 쓸 수 있게 됐다. 그 중에서도 특히 우리가 관심을 갖는 것은 선형작용소로써, 예시로 다음과 같은 것들이 있다.

• 항등작용소 $I : X \to X, Ix = x$
  말 그대로 작용을 취해도 변하지 않는, 혹은 작용을 취하지 않은 것이나 마찬가지인 작용이다. $1$이나 ${\rm id}$로 표기하기도 한다.

• 영작용소 $\mathbb{0} (x) : = 0$
  어떤 원소든 $0$ 으로 만드는 작용으로, 작용소의 벡터 스페이스에서 제로벡터의 역할을 하게 된다.

• 미분작용소 $D : C^{1} \to C^{1}, Df = \dfrac{d f}{d x}=f^{\prime}$
  미분을 취하는 작용소로써 고등학교부터 알게 모르게 누구나 다 써왔던 사실이다.

• 적분작용소 $T : C[0, 1] \to C[0, 1]$, $\displaystyle y(t) = Tx(t) = \int_{0}^{1}K(t, s)x(s) ds$ 적분도 하나의 작용소이며 이때 $K$를 커널^kernel이라 한다. 적분 변환이라고도 한다.

• 행렬 $T_{A} ( \mathbb{x} ) := A \mathbb{x}$ $m \times n$ 행렬 $A$ 는 $\mathbb{C}^{n}$ 에서 $\mathbb{C}^{m}$ 으로 가는 함수로 생각할 수 있다.