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빅오 노테이션이 분모에 있을 때 분자로 올리는 법

정리

$a \ne 0$ 와 $p>0$, $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립한다. $${{1} \over { \sqrt[p]{a + O ( h^n ) } }} = {{1} \over { \sqrt[p]{a } }}+ O(h^n)$$

설명

복잡하게 생긴 분모를 깔끔한 형태로 바꿔주는 렘마로써 요긴하게 쓰일 수 있다.

상수항 $a$ 이 없다면 렘마 없이도 $\displaystyle {{1} \over { \sqrt[p]{ O ( h^n ) } }} = O \left( h^{ - {{n} \over {p}} } \right)$ 으로 깔끔하게 올라오지만 보통 쓸모가 없다.

증명

$${{1} \over { \sqrt[p]{a + O ( h^n ) } }} = {{1} \over { \sqrt[p]{a + b h^n } }} = (a + b h^n )^{-{{1} \over {p}}}$$ 에 대해 $\displaystyle q := {{1} \over {p}}$ 라 두고 함수 $\displaystyle f(h) := (a + b h^n )^{-q}$ 를 정의하자.

$f$ 에 대해 매클로린 전개를 하면 $$f(h) = f(0) + h f '(0) + {{h^2} \over {2}} f ''(0) + {{h^3} \over {6}} f^{(3)}(0) + \cdots$$ $\displaystyle f(h) = (a + b h^n )^{-q}$ 이므로 $$f(0) = (a + b \cdot 0^n )^{-q} = {{1} \over { \sqrt[p]{a } }}$$ 다. 한편 $$f ' (h) = -qbnh^{n-1} (a+ bh^{n})^{-q-1}$$ 이므로 $f ' (0) = 0$ 고, $$f '' (h) = -qbn(n-1)h^{n-2} (a+ bh^{n})^{-q-1} + bnh^{n-1} (-q-1) bnh^{n-1} (a+ bh^{n})^{-q-2}$$ 이므로 $f '' (0) = 0$ 다. 이런 식으로 $k$계 도함수 $f^{(k)}$ 을 구해보면 $k=2,3, \cdots, (n-1)$ 에 대해 $f^{(k)}(0) = 0$ 임을 알 수 있다. 어떤 $g(h)$ 에 대해 $$f^{(n)}(h) = -qbn!h^{n-n} (a+ bh^{n})^{-q-1} + h g(h)$$ 이므로, $$f^{(n)} (h) = -qbn! {{1} \over { \sqrt[q+1]{a } }}$$ 다. 따라서 $$f(h) ={{1} \over { \sqrt[p]{a } }} + 0 + \cdots + 0 - {{h^n} \over {n!}} qbn! {{1} \over { \sqrt[q+1]{a } }} + {{h^{ (n+1) } } \over {(n+1)! }} f^{(n+1)}(0) + \cdots$$ 다. $0$ 이후에 등장하는 모든 항들을 $h^n$ 으로 묶어내면 다음을 얻는다. $${{1} \over { \sqrt[p]{a + O ( h^n ) } }} = {{1} \over { \sqrt[p]{a } }}+ O(h^n)$$

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