📂추상대수

다항함수의 영

정의 ¹

$$f(x) : = \sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} = a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$$ 다항함수 $f \in F [x]$ 와 체 $F \le E$ 에 대해 $\alpha \in E$ 에서의 평가함수^evaluation $\phi_{\alpha} : F [ x ] \to E$ 를 다음과 같이 정의하자. $$\phi_{\alpha} ( f(x) ) : = a_{0} + a_{1} \alpha + \cdots + a_{n} \alpha^n = f (\alpha)$$ $f( \alpha ) = 0$ 을 만족시키는 $\alpha \in E$ 를 $f(x)$ 의 영^zero이라 한다.

설명

평가함수

팩트로써, $\phi_{\alpha}$ 는 준동형사상이 된다.

정의가 너무 두리뭉술하게 느껴질 수 있는데, 간단한 예시로써 $\phi_{i} : \mathbb{R} [ x ] \to \mathbb{C}$ 를 생각해보자. 가령 $\phi_{i} ( x^2 - 3 x + 2)$ 이라고 하면, 단순히 $$f(x) = x^2 - 3 x + 2$$ 에 $i$ 를 대입한 $$i^2 - 3 i + 2= 1 -i2 \in \mathbb{C}$$ 가 되는 것이다. 물론 여기서 $\mathbb{R} \le \mathbb{C}$ 인 것은 문제가 되지 않는다.

영의 모티브

커널을 생각해보면 $\ker ( \phi_{\alpha} )$ 는 $f(\alpha) = 0$ 을 만족하는 함수들의 집합이 될 것이다. 위의 예시에서 이어가자면 $\ker ( \phi_{i} ) \subset \mathbb{R} [ x ]$ 의 원소들은 $(x-i)$ 을 인수로 갖는 다항함수들이다.

이렇듯 $f( \alpha ) = 0$ 을 만족할 때 $\alpha$ 를 $f(x)$ 의 영이라 부르는 것은 의심의 여지 없이 자연스럽다. 동치로써, $\phi_{\alpha} ( f(x) ) = 0$ 이면 $\alpha$ 를 $f(x)$ 의 영이라고 했다.

이제까지 늘 해왔던 대입이나 근의 개념을 굳이 함수까지 끌어들어가며 설명하는 이유는 바로 ‘방정식의 해’라는 개념을 엄밀하게 정의하기 위함이다. $$f(x) = g(x)$$ 예를 들어 위와 같은 방정식을 생각해보자. 이런 방정식을 모은 집합을 생각하지 못할 이유는 없지만, 관계를 모으는 것보다는 양변을 각각 따로 생각해서 $f(x)$ 와 $g(x)$ 자체를 다루는 게 훨씬 간단명료하다. 만약 방정식의 집합 $X$ 가 위와 같은 방정식을 모아놓은 집합이라면 $$\left( f(x) = g(x) \right) \in X$$ 과 같이 나타낼 수 있어야할텐데, 어차피 이항하고나면 $$f(x) = g(x) \iff f(x) - g(x) = 0$$ 이라서 굳이 우변을 지저분하고 자유롭게 둘 이유가 없기 때문이다. 집합 $X$ 가 방정식이 아닌 함수를 갖는 구조를 따르게 되면 우변을 $0$ 으로 둔 방정식을 모으고, 그들이 언제 성립하는지에 관심을 가지는 것과 진배없다.

이러한 사고의 확장에 따라 ‘실수를 계수로 갖는 다항함수임에도 허근이 나올수 있다’는 식의 팩트가 추상화되고 일반화 될 것이다.