📂추상대수

다항함수의 환

정의 ¹

$$ f(x) : = \sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} = a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} $$ 환 $R$ 의 다항함수^polynomial $f(x)$ 를 위와 같이 정의한다.

1. $a_{i} \in R$ 들을 $f(x)$ 의 계수^coefficient라 한다.
2. $n < \infty$ 면 $n$ 을 $f(x)$ 의 차수^degree라 한다.
3. $R[x]$ 는 $R$ 의 원소를 계수로 갖는 유한다항함수들을 모아놓은 집합이다. $$ R[x] := \left\{ a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} \ | \ a_{0}, \cdots , a_{n} \in R \right\} $$
4. $R[[x]]$ 는 $R$ 의 원소를 계수로 갖는 무한다항함수들을 모아놓은 집합이다. $$ R[[x]] := \left\{ a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} + \cdots \ | \ a_{0}, \cdots , a_{n} , \cdots \in R \right\} $$

설명

멀리 돌고 돌아 드디어 중고등학교에서 배운 ‘대수학’으로 돌아왔다.새 삼 다항함수를 정의하는 이유는 다항’식’을 군, 환, 체의 어떤 원소로써 보고 다루기 위함이다.

이에 대해 다음의 중요한 정리들을 알아야한다. 별 것 아닌것 같아 보이지만 다항식의 환이 원래 환의 유용한 성질들을 보존한다는 걸 보장해주는 팩트들이다.

정리

• [1]: $R$ 이 환이면 $R[x]$ 도 다항함수의 덧셈과 곱에 대해 환이다.
• [2]: $R$ 이 가환환이면 $R[x]$ 도 가환환이다.
• [3]: $R$ 이 단위원 $1 \ne 0$ 을 가지면 $R[x]$ 도 단위원 $1 \ne 0$ 을 가진다.

이 정리들이 $R[x]$ 에 대해 성립하면 $R[[x]]$ 에 대해서도 성립한다.