📂물리학

등가속도 직선 운동과 그래프

정의

어떤 물체의 가속도가 시간 $t$에 따라 변하지 않을 때 물체가 등가속도 운동을 한다고 말한다.

$$a(t)=a$$

등가속도 직선 운동은 가속도가 변하지 않고 일정하게 유지되면서 직선으로 운동하는 것을 말한다. 이 때 가속도 $a$​가 양수인지 음수인지가 중요한데 $a>0$이라면 처음 움직이던 방향으로 점점 빠르게 움직일 것이고, $a<0$이라면 움직이던 방향으로 운동하되 점점 느려지다가 속도가 0이 된 후 반대방향으로 점점 빠르게 움직일 것이다. $a=0$이라면 속도의 변화가 0이라는 뜻이니 등속운동이라는 뜻이다.

공식

다시 언급하자면 등가속도라는 말은 가속도가 상수라는 말이다. 가속도를 적분해서 차례대로 속도, 위치를 구하면 아래와 같은 세 공식을 얻는다. 이 공식은 자주, 유용하게 쓰이니 반드시 알아두자.

$$\begin{align} v &= \int a dt = v_{0} + at \\ x &= \int v dt=\int(v_{0} + at)dt = x_{0} + v_{0}t + \frac{ 1 }{ 2 }at^{2} \\ 2ax &= v^{2}-v_{0}^{ 2 } \end{align}$$

이때 $v_{0}$, $x_{0}$는 적분 상수이자 속도, 위치의 초기값이다. $(3)$은 특히 문제에서 시간 $t$에 대한 정보가 없을 때 사용하며, $(1)$과 $(2)$로부터 유도할 수 있다.

유도

우선 $(1)$을 $t$에 대해서 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && v =&\ v_{ 0 }+at \\ \implies && at =&\ v-v_{ 0 } \\ \implies && t =&\ \frac{ v -v_{0} }{ a } \end{align*}$$

이를 $(2)$에 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && x =&\ v_{ 0 }\frac { v-v_{0} }{ a }+\frac { 1 }{ 2 }a\left( \frac { v-v_{0} }{ a } \right)^{2} \\ \implies && x =&\ v_{ 0 }\frac { v-v_{0} }{ a }+\frac { 1 }{ 2 }a\frac { \left( v-v_{0} \right)^{2} }{ a^{2} } \\ \implies && ax =&\ v_{ 0 }(v-v_{0})+\frac { 1 }{ 2 }(v-v_{0})^{2} \\ \implies && 2ax =&\ 2v_{0}v-2{v_{0}}^{2}+(v-v_{0})^{2} \\ \implies && 2ax =&\ 2v_{0}v-2{v_{0}}^{2} + v^{2} - 2vv_{0}+v_{0}^{2} \\ \implies && 2ax =&\ v^{2}-v_{0}^{2} \end{align*}$$

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그래프

등가속도 직선 운동의 그래프는 아래의 그림과 같다. 등속도 운동의 그래프와 다른 점은 가속도가 0보다 큰지 작은지에 따라 그래프 모양이 바뀐다는 것이다.