망델브로 집합과 줄리아 집합 📂동역학

망델브로 집합과 줄리아 집합

정의

$P_{c} : z \mapsto z^{2} + c$ 복소평면 $\mathbb{C}$ 에서 주어진 $c \in \mathbb{C}$ 에 대해 위와 같이 맵으로 정의된 동역학계와 그 오빗 $P_{c}^{n} (z)$ 를 생각해보자.

망델브로 집합 ¹

초기조건 $z = 0$ 에 대해 $P_{c}^{n} (z)$ 가 발산하지 않는 파라미터 $c$ 들의 집합 $M$ 을 망델브로 집합^{Mandelbrot set}이라 한다. $M = \mathbb{C} \setminus \left\{ c \in \mathbb{C} : \lim_{n \to \infty} P_{c}^{n} (0) = \infty \right\}$

줄리아 집합

주어진 파라미터 $c$ 에 대해 $P_{c}^{n} (z)$ 가 발산하지 않는 초기조건 $z$ 들의 집합 $J_{c}$ 를 줄리아 집합^{Julia set}이라 한다. $J_{c} = \mathbb{C} \setminus \left\{ z \in \mathbb{C} : \lim_{n \to \infty} P_{c}^{n} (z) = \infty \right\}$

설명

망델브로 집합과 줄리아 집합의 관계는 쉽게 말해 $c$ 에 관심을 두느냐 $z$ 에 관심을 두느냐가 반대인 집합들이다.

위의 움짤은 망델브로 집합을 계속 확대하며 나타나는 자기유사성을 보여주고 있다. 망델브로 집합은 대표적인 프랙털로써², 최초의 프랙털은 아니었지만 컴퓨터를 사용해서 그려진 프랙털로는 첫번째 사례로 꼽힌다. 이는 당시 망델브로가 IBM에 적을 두고 있어서 컴퓨터에 접근하기 쉬웠기 때문이다.

다음은 망델브로 집합에 속한 점을 검게, 무한대로 발산하는 점을 희게 칠한 그림이다³.

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