📂추상대수

불리언 링

정의 ¹

$R$ 을 환이라고 하자.

1. $r \in R$ 이 $r^2 = r$ 을 만족하면 $r$ 을 멱등원^{idempotent element}이라 한다.
2. $R$ 의 모든 원소가 멱원소면 $R$ 을 불리언 링^{boolean ring}이라 한다.

설명

불리언 링을 순화하면 ‘불환’이지만 어감이 매우 좋지 못해 영어 발음을 그대로 썼다.

선형대수학에서의 사영이 유용한 성질을 많이 가졌으니 일반화된 추상대수학에선 말할 것도 없다.

불리언 링의 예시로써 가장 유명한 것은 당연히 ‘불 대수’로도 일컬어지는 $$ (\left\{ \text{True}, \text{False} \right\} , \text{OR}, \text{AND} ) $$ 이다. 잘 알다시피 $$ \text{True AND True} = \text{True} \\ \text{False AND False} = \text{False} $$ 이므로 이 환은 불리언 링이 된다. 수학도에게 더 익숙한 예시로는 $\mathbb{Z}_{2}$ 가 있는데, 당연하게도 불리언 링과 $\mathbb{Z}_{2}$ 는 동형이다.

한편 불리언 링의 성질로써 다음이 알려져있다.

정리

불리언 링은 가환환이다.

증명

불리언 링 $R$ 에 대해 $a, b \in R$ 이면 $(a+b) \in R$ 이고 $$ (a + b)^2 = (a+b) $$ 분배법칙에 의해 $$ (a + b)^2 = (a+b)a + (a+b)b = a^2 + ba + ab + b^2 = (a+b) $$ $a^2 = a$ 그리고 $b^2 = b$ 이므로 $$ a+ ba + ab + b = a+ b $$ $a$ 와 $b$ 는 덧셈에 대한 역원이 존재하므로 정리하면 $$ ba +ab = 0 $$ 양변에 $ba$ 의 역원 $(-ba)$ 을 더하면 $ab = -ba$ 이므로 $$ ab = (ab)^2 = (-ba)^2 = (ba)^2 = ba $$

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같이보기

• 선형대수학에서의 사영