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유한 차원 벡터 공간 상에서 정의된 모든 놈은 동치임을 증명

정리 ¹

유한 차원 벡터 공간 상에서 정의된 모든 놈은 동치다.

설명

유클리드 공간 상에서 정의된 모든 놈은 동치라는 사실은 본 정리의 따름 정리에 해당한다.

증명

전략: $c \| v \| _{\alpha} \le \| v \| _{\beta} \le C \| v \| _{\alpha}$ 를 만족하는 $c , C >0$ 가 존재함을 보이면 두 놈 $\left\| \cdot \right\|_{\alpha}$ 와 $\left\| \cdot \right\|_{\beta}$ 는 동치다. 최대최소값 정리를 통해 $\displaystyle { { \| v \| _{\beta} } \over {\| v \| _{\alpha} } }$ 의 최대값과 최소값이 존재함을 한 번에 보인다.

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유한 차원 벡터 공간 $X$ 에서 놈이 정의되었다면 기저 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 가 존재한다. 따라서 $X$ 의 모든 벡터는 $(\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) = \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n}$ 과 같이 나타낼 수 있다. $X$ 에서 정의된 세 놈 $\left\| \cdot \right\|_{1}$, $\left\| \cdot \right\|_{2}$ 그리고 $\left\| \cdot \right\|$ 을 생각해보자. 특히 $\left\| \cdot \right\|$ 는

$$ \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \| : = \sum_{k=1}^{n} | \lambda_{k} | $$

와 같이 선형 결합의 계수의 절댓값을 모두 더한 놈으로써 정의한다. 이제 $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|$ 그리고 $\left\| \cdot \right\| \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$ 임을 보이면 동치관계의 추이성에 의해 임의의 두 놈은 $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$ 을 만족한다.

• Part 1.

  함수 $f : ( \mathbb{C}^{n} , \left\| \cdot \right\| ) \to \mathbb{R}$ 를 $f( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) = \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \|_{1}$ 이라고 정의하자. 그리고 각각이 $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n}$ 으로 수렴하는 수열 $\left\{ \lambda_{1}^{(j)} \right\}_{j \in \mathbb{N} } , \cdots , \left\{ \lambda_{n}^{(j)} \right\}_{j \in \mathbb{N} }$ 들을 정의하자.

  $$ \begin{align*} & \left| f( \lambda_{1}^{(j)} , \cdots , \lambda_{n}^{(j)} ) - f( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) \right| \\ =& \left| \| \lambda_{1}^{(j)} e_{1} + \cdots + \lambda_{n}^{(j)} e_{n} \|_{1} - \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \|_{1} \right| \\ \le & \left\| \left( \lambda_{1}^{(j)} e_{1} + \cdots + \lambda_{n}^{(j)} e_{n} \right) - \left( \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \right) \right\|_{1} \\ \le & \sum_{k=1}^{n} \left\| \left( \lambda_{k}^{(j)} e_{k} - \lambda_{k} e_{k} \right) \right\|_{1} \\ \le & \sum_{k=1}^{n} \left| \lambda_{k}^{(j)}- \lambda_{k} \right| \max_{1 \le k \le n} \left\| e_{k} \right\|_{1} \end{align*} $$

  즉 $j \to \infty$ 일 때 $\left| f( \lambda_{1}^{(j)} , \cdots , \lambda_{n}^{(j)} ) - f( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) \right| \to 0$ 이므로 $f$ 는 연속함수다.

• Part 2.

  $X$ 에서 계수의 절댓값의 합이 $1$ 인 벡터만 모은 집합

  $$ S := \left\{ \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \ : \ \sum_{k=1}^{n} | \lambda_{k}|=1, \lambda_{k} \in \mathbb{C} \right\} $$

  는 컴팩트고, $f$ 는 연속이므로 최대최소값 정리에 의해

  $$ f(S) = \left\{ \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \|_{1} \ : \ \sum_{k=1}^{n} | \lambda_{k}|=1, \lambda_{k} \in \mathbb{C} \right\} $$

  는 최솟값 $m$ 과 최댓값 $M$ 갖는다. 따라서

  $$ m \le \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \|_{1} \le M $$

• Part 3.

  $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k}| \ne 1$ 인 $( \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} ) \in X$ 에 대해

  $$ m \le \left\| {{\alpha_{1} } \over { \sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k}|}} e_{1} + \cdots + {{\alpha_{n}} \over { \sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k}|}} e_{n} \right\|_{1} \le M $$

  놈의 성질에 의해

  $$ m \le {{1} \over {\sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k}|}} \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \|_{1} \le M $$

  $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k} | = \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \|$ 이므로

  $$ m \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \| \le \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \|_{1} \le M \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \| $$

  따라서 놈의 동치관계가 정의된 바에 따라

  $$ \left\| \cdot \right\| \sim \left\| \cdot \right\|_{1} $$

• Part 4.

  마찬가지의 방법으로 $\left\| \cdot \right\| \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$ 임을 보이면 동치관계의 추이성에 따라

  $$ \left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{2} $$

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