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유한 차원 놈 공간은 기저를 가짐을 증명

정리 ¹

모든 유한 차원 놈 공간은 기저를 가진다.

설명

특정 조건을 만족하는 기저도 아니고 기저의 존재성을 밝힌다는 것이 생소하겠지만, 실제로 기저의 정의에서 모든 벡터 공간의 기저가 존재한다고 한 적이 없다. 유한 차원을 정의하기에 따라서는 별도로 증명이 필요없을 정도로 자명한 팩트기도 하다.

증명

전략: 유한차원이라는 점을 이용해 구체적으로 기저를 구축한다.

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$(X, | \cdot | )$ 는 유한 차원이므로 $\text{span} \left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\} = X$ 를 만족하는 $\left\{x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$ 가 존재한다. $y_{1} : = x_{1}$ 이라고 하자. 만약 $x_{2} \in \text{span} \left\{ y_{1} \right\}$ 이면 $x_{3}$ 을 생각하자. 만약 $x_{2} \notin \text{span} \left\{ y_{1} \right\}$ 이면 $y_{2} := x_{2}$ 라 두자. 만약 $x_{3} \in \text{span} \left\{ y_{1}, y_{2} \right\}$ 이면 $x_{4}$ 을 생각하자. 만약 $x_{3} \notin \text{span} \left\{ y_{1}, y_{2} \right\}$ 이면 $y_{3} := x_{3}$ 라 두자. 이런식으로 $M = \left\{ y_{1} , \dots , y_{k} \right\}$ 을 정의하면 $1 \le j \le k$ 에 대해

$$ y_{j} \notin \text{span} \left\{ y_{1} , \dots , y_{j-1} \right\} $$

$M$ 이 선형 독립이 아니라고 가정해보면 어떤 $\lambda_{j} \ne 0$들에 대해

$$ \lambda_{1} y_{1} + \dots + \lambda_{k} y_{k} = 0 $$

그런 $j$ 들 중에 가장 큰 $j$ 를 $j_{0}$ 이라고 하면

$$ y_{j_{0}} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j} - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j > j_{0}} \lambda_{j} y_{j} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j} $$

따라서 $\displaystyle y_{j_{0}} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j} \in \text{span} \left\{ y_{1} , \dots , y_{j_{0}-1} \right\}$ 인데, 이는 모순이다. $M \subset \left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$ 은 선형 독립이면서 $\text{span} M = X$ 을 만족하므로, $M$ 이 $X$ 의 기저가 된다.

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증명 과정을 잘 살펴보면 $\left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$ 는 꽤나 여유롭게 $X$ 를 생성함을 알 수 있다. 여기서 선형 독립이 되는 것을 방해하는 것들을 다 버리고 $M$ 만을 취해서 구체적으로 그것이 기저임을 보인 것이다.