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유한 차원 벡터 공간의 하멜 베이시스

정의 ¹

벡터 공간 $X$ 가 주어져 있다고 하자.

1. $X$의 벡터 $x_{1} , \dots , x_{n}$와 스칼라 $\alpha_{1} , \dots , \alpha_{n}$ 에 대해 $\alpha_{1} x_{1} + \cdots + \alpha_{n} x_{n}$를 벡터 $x_{1} , \dots , x_{n}$들의 선형 결합이라 한다.

2. $M =\left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$이라 할 때 $M$의 모든 벡터의 선형 결합들의 집합을 $\text{span} M$ 이라 하고, $M$에 의해 생성된 $X$의 부분 공간이라 한다.

3. $\alpha_{1} x_{1} + \cdots + \alpha_{n} x_{n} = 0$를 만족하는 경우가 $\alpha_{1} = \cdots = \alpha_{n} = 0$ 뿐일 때 $M$은 선형 독립이라고 한다.

4. 유한 집합 $K \subset X$가 $\text{span} K = X$를 만족하면 $X$가 유한 차원이라 한다.

5. 선형 독립 집합 $M$이 $\text{span} M = X$를 만족할 때, $M$ 을 $X$의 기저라고 한다.

6. 기저의 기수 $\dim X := | M|$ 을 $X$의 차원이라한다.

설명

벡터 공간의 기저는 특히 ‘유한’ 선형 결합에 대해 논할 때 하멜 베이시스라고 불리운다. 유한 차원 놈 공간은 말이 길어 그렇지 선형대수를 처음 접하면서부터 알고 있어서 친숙한 공간이기도 하다. 그래서 보통은 이들이 얼마나 좋은 성질을 가지고 있는지 그에 대한 어떤 진지한 고찰을 하지는 않았을 것이다.

• 유한 차원 놈 공간는 베이시스를 가진다.
• 유한 차원 벡터 공간 상에서 정의된 모든 놈은 동치다.
• 유한 차원 놈 공간는 완비성을 가진다.

유클리드 공간을 생각해본다면야 위의 사실들은 팩트로써 받아들일 수 있지만, 일반적인 공간에선 그렇지만도 않다. 모두 일일이 증명이 필요하며, 생각보다 쉽지만은 않다.

같이보기

• 선형대수학에서 벡터의 선형독립과 기저, 차원
• 무한 차원 벡터 공간의 기저: 샤우더 베이시스