이차행렬의 곱의 성분의 합을 쉽게 구하는 공식
공식
이차행렬 $\begin{bmatrix} { a }&{ b } \\ { c }&{ d } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} { p }&{ q } \\ { r }&{ s } \end{bmatrix}$ 의 성분의 합은 다음과 같다. $$ {(a+c)(p+q)}+{(b+d)(r+s)} $$
설명
두 이차행렬을 주고 그 곱의 성분의 합을 구하라는 문제를 많이 접해보았을 것이다. 다들 알겠지만 이 행렬을 곱한다는게 어렵지는 않지만 시간도 걸리고 여간 귀찮은게 아니다. 해서, 연산을 획기적으로 줄이는 공식을 소개한다.
유도
$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} { ap+br }&{ aq+bs } \\ { cp+dr }&{ cq+ds } \end{bmatrix} $$ 이므로 이 행렬의 성분의 합은 $$ \begin{align*} & (ap+br)+(aq+bs)+(cp+dr)+(cq+ds) \\ =& (ap+aq+cp+cq)+(br+bs+dr+ds) \\ =& (a+c)(p+q)+(b+d)(r+s) \end{align*} $$
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