p=∞ 일 때 p-놈이 맥시멈 놈이 됨을 증명
📂바나흐공간 p=∞ 일 때 p-놈이 맥시멈 놈이 됨을 증명 정리 수열 공간 l p l^{p} l p 와 1 < p 0 < ∞ 1 < p_{0} < \infty 1 < p 0 < ∞ 에 대해 { x n } n ∈ N ∈ l p 0 \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}} { x n } n ∈ N ∈ l p 0 라 두자.
lim p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ x n ∣ p ) 1 p = sup n ∈ N ∣ x n ∣
\lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } |
p → ∞ lim ( n ∈ N ∑ ∣ x n ∣ p ) p 1 = n ∈ N sup ∣ x n ∣
설명 맥시멈 놈은 해석학이나 선형대수학 등에서 꽤 일찍 접함 에도 불구하고 왜 하필 ∞ \infty ∞ 와 관계가 있는지 제대로 설명을 안 해주는 경우가 많다. 특히 교수님들은 너무 당연하게 생각하기 때문에 그냥 넘어가는데, 와닿지 않는다면 반드시 짚고 넘어가도록 하자.
시각화
백마디 말이 필요 없다. 위의 그림은 유클리드 공간 R 2 \mathbb{R}^{2} R 2 에 주어진 p p p -놈의 유닛 볼 을 그려보면 위와 같은 모양으로 수렴해간다.
직관적 수식 전개 개념을 잡는데에는 수식적으로 접근하는 게 더 도움이 된다. x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} x ∈ R n 이라고 할 때, ∥ x ∥ p \left\| \mathbf{x} \right\|_{p} ∥ x ∥ p 은
∥ x ∥ p = ∣ x 1 ∣ p + ⋯ + ∣ x n ∣ p p
\left\| \mathbf{x} \right\|_{p} = \sqrt[p]{\left| x_{1} \right|^{p} + \cdots + \left| x_{n} \right|^{p}}
∥ x ∥ p = p ∣ x 1 ∣ p + ⋯ + ∣ x n ∣ p
과 같이 적을 수 있다. 이 때, ∣ x 1 ∣ , ⋯ , ∣ x n ∣ \left| x_{1} \right|, \cdots , \left| x_{n} \right| ∣ x 1 ∣ , ⋯ , ∣ x n ∣ 중 가장 큰 값을 x ˉ = max k = 1 , ⋯ , n ∣ x k ∣ \bar{x} = \max_{k = 1 , \cdots , n} \left| x_{k} \right| x ˉ = max k = 1 , ⋯ , n ∣ x k ∣ 라 하면 다음과 같은 수식 전개가 될 것처럼도 보인다.
lim p → ∞ ∥ x ∥ p = lim p → ∞ ∣ x 1 ∣ p + ⋯ + ∣ x n ∣ p p = lim p → ∞ x ˉ p ( ∣ x 1 x ˉ ∣ p + ⋯ + ∣ x n x ˉ ∣ p ) p = lim p → ∞ x ˉ p p ⋅ ( ∣ x 1 x ˉ ∣ p + ⋯ + ∣ x n x ˉ ∣ p ) p = ? x ˉ lim p → ∞ 0 + ⋯ + 1 + ⋯ + 0 p = x ˉ lim p → ∞ m 1 p = max k = 1 , ⋯ , n ∣ x k ∣ ⋅ 1
\begin{align*}
\lim_{p \to \infty} \left\| x \right\|_{p} =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\left| x_{1} \right|^{p} + \cdots + \left| x_{n} \right|^{p}}
\\ =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{ \bar{x}^{p} \left( \left| {\frac{ x_{1} }{ \bar{x} }} \right|^{p} + \cdots + \left| {\frac{ x_{n} }{ \bar{x} }} \right|^{p} \right) }
\\ =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\bar{x}^{p}} \cdot \sqrt[p]{ \left( \left| {\frac{ x_{1} }{ \bar{x} }} \right|^{p} + \cdots + \left| {\frac{ x_{n} }{ \bar{x} }} \right|^{p} \right) }
\\ \overset{?}{=} & \bar{x} \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{ 0 + \cdots + 1 + \cdots + 0 }
\\ =& \bar{x} \lim_{p \to \infty} m^{{\frac{ 1 }{ p }}}
\\ =& \max_{k = 1 , \cdots , n} \left| x_{k} \right| \cdot 1
\end{align*}
p → ∞ lim ∥ x ∥ p = = = = ? = = p → ∞ lim p ∣ x 1 ∣ p + ⋯ + ∣ x n ∣ p p → ∞ lim p x ˉ p ( x ˉ x 1 p + ⋯ + x ˉ x n p ) p → ∞ lim p x ˉ p ⋅ p ( x ˉ x 1 p + ⋯ + x ˉ x n p ) x ˉ p → ∞ lim p 0 + ⋯ + 1 + ⋯ + 0 x ˉ p → ∞ lim m p 1 k = 1 , ⋯ , n max ∣ x k ∣ ⋅ 1
엄밀한 증명이 이런 식으로 이루어지지는 않지만, 이러한 직관을 가지고 있냐 없냐는 맥시멈 놈을 체득하는 부분에 있어서 큰 차이가 난다.
증명 M : = sup n ∈ N ∣ x n ∣ \displaystyle M := \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | M := n ∈ N sup ∣ x n ∣ 이라 하자. 만약 M = 0 M=0 M = 0 이면 0 = lim p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ x n ∣ p ) 1 p = sup n ∈ N ∣ x n ∣ = 0 \displaystyle 0 = \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | = 0 0 = p → ∞ lim ( n ∈ N ∑ ∣ x n ∣ p ) p 1 = n ∈ N sup ∣ x n ∣ = 0 이므로 M > 0 M > 0 M > 0 을 가정하자. 새로운 수열을 y n : = x n M \displaystyle y_{n} : = {{x_{n}} \over {M}} y n := M x n 이라고 정의하면 sup n ∈ N ∣ y n ∣ = 1 \displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1 n ∈ N sup ∣ y n ∣ = 1 이고 { y n } n ∈ N ∈ l p 0 \left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}} { y n } n ∈ N ∈ l p 0 이므로 lim p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ x n ∣ p ) 1 p = M \displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = M p → ∞ lim ( n ∈ N ∑ ∣ x n ∣ p ) p 1 = M 임을 보이려면 lim p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ x n M ∣ p ) 1 p = 1 \displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } \left| {{x_{n} } \over {M}} \right|^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1 p → ∞ lim ( n ∈ N ∑ M x n p ) p 1 = 1 을 보이는 것으로 충분하다.
Part 1. lim inf p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p ≥ 1 \displaystyle \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge 1 p → ∞ lim inf ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1 ≥ 1
sup n ∈ N ∣ y n ∣ = 1 \displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1 n ∈ N sup ∣ y n ∣ = 1 이므로 임의의 ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 에 대해 ∣ y n 0 ∣ > 1 − ε | y_{n_{0} } | > 1 - \varepsilon ∣ y n 0 ∣ > 1 − ε 을 만족하는 n 0 ∈ N n_{0} \in \mathbb{N} n 0 ∈ N 이 존재한다. 모든 ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 에 대해 lim inf p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p ≥ ∣ y n 0 ∣ > 1 − ε \displaystyle \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge | y_{ n_{0} } | > 1 - \varepsilon p → ∞ lim inf ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1 ≥ ∣ y n 0 ∣ > 1 − ε 이 성립하므로
lim inf p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p ≥ 1
\liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge 1
p → ∞ lim inf ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1 ≥ 1
Part 2. lim sup p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p ≤ 1 \displaystyle \limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le 1 p → ∞ lim sup ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1 ≤ 1
{ y n } n ∈ N ∈ l p 0 \left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}} { y n } n ∈ N ∈ l p 0 이므로 ∑ n > N ∣ y n ∣ p 0 < 1 \displaystyle \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p_{0}} < 1 n > N ∑ ∣ y n ∣ p 0 < 1 를 만족하는 N ∈ N N \in \mathbb{N} N ∈ N 이 존재한다. p > p 0 p > p_{0} p > p 0 이라고 하면
∑ n > N ∣ y n ∣ p < ∑ n > N ∣ y n ∣ p 0 < 1
\sum_{ n > N } | y_{n} |^{p} < \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p_{0}} < 1
n > N ∑ ∣ y n ∣ p < n > N ∑ ∣ y n ∣ p 0 < 1
( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p ≤ ( ∣ y 1 ∣ p + ⋯ + ∣ y N ∣ p + 1 ) 1 p ≤ ( N + 1 ) 1 p \displaystyle \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \left( | y_{1} |^{p} + \cdots + | y_{N} |^{p} + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \left( N + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1 ≤ ( ∣ y 1 ∣ p + ⋯ + ∣ y N ∣ p + 1 ) p 1 ≤ ( N + 1 ) p 1 이 성립하므로
lim sup p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p ≤ lim sup p → ∞ ( N + 1 ) 1 p = 1
\limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \limsup_{p \to \infty} \left( N + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1
p → ∞ lim sup ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1 ≤ p → ∞ lim sup ( N + 1 ) p 1 = 1
Part 3. 위의 Part 1. 과 Part 2. 에 따라
lim sup p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p ≤ 1 ≤ lim inf p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p
\limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le 1 \le \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} }
p → ∞ lim sup ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1 ≤ 1 ≤ p → ∞ lim inf ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1
이고, 결과적으로 다음을 얻는다.
lim p → ∞ ( ∑ n ∈ N ∣ y n ∣ p ) 1 p = 1
\lim_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } =1
p → ∞ lim ( n ∈ N ∑ ∣ y n ∣ p ) p 1 = 1
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