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수열 공간(ℓp 공간)

정의 ¹

$1 \le p < \infty$ 에 대해 거리공간 $( \ell^{p} , d^{p} )$ 는 다음과 같이 정의된다.

(i) 수렴하는 수열의 집합:

$$\ell^{p} := \left\{ \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} \left| \left( \sum_{i=1}^{\infty} | x_{i} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} < \infty \right. \right\}$$

(ii) 거리 함수:

$$d^{p} ( x_{n} , y_{n} ) := \left( \sum_{i = 1}^{\infty} | x_{i} - y_{i} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} },\quad \left\{ x_{n} \right\} , \left\{ y_{n} \right\} \in \ell^{p}$$

$p = \infty$ 에 대해 거리공간 $( \ell^{\infty} , d^{\infty} )$ 는 다음과 같이 정의된다.

(i)' 유계 수열의 집합:

$$\ell^{\infty} := \left\{ \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \ \left| \ \sup_{i \in \mathbb{N}} | x_{i} | < \infty \right. \right\}$$

(ii)' 거리 함수:

$$d^{\infty} ( x_{n} , y_{n} ) := \sup_{i \in \mathbb{N}} | x_{i} - y_{i} |,\quad \left\{ x_{n} \right\} , \left\{ y_{n} \right\} \in \ell^{\infty}$$

설명

$\ell^{p}$는 수열 공간^{sequence space}이라고 하며 $\ell^{p}$는 [엘피]라 읽는다. $\ell$의 텍코드는 \ell이다.

$\ell^{p}$ 공간이 $L^{p}$ 공간과 다른점은 실로 수열이냐 함수냐, 무한급수냐 적분이냐 하는 차이밖에 없다. 영의 부등식, 코시-슈바르츠 부등식, 횔더 부등식, 민코프스키 부등식등은 물론 완비성을 가진 것 또한 마찬가지다. 팩트 자체가 비슷한만큼 증명 방법 역시 대동소이하므로 둘 중 한 쪽을 충분히 공부했다면 다른쪽은 굳이 할 것도 없다.

한편 $\ell^{\infty}$ 는 사실 $p \to \infty$ 일때와 마찬가지로, 증명이 가능해서 따로 정의할 필요가 없다. 대부분의 성질을 보면 $\ell^{p}$ 나 $\ell^{\infty}$ 나 거의 똑같아서 굳이 따로 생각하지 않아도 된다.

다만 대표적인 예외로써 가분성이 있다.

정리 ¹

$1 \le p_{0} < \infty$ 라고 하자.

• (a): $\ell^{p_{0}}$ 는 가분 공간이다.
• (b): $\ell^{\infty}$ 는 불가분 공간이다.

이러한 차이는 $\ell^{p_{0}}$ 가 수렴성을 조건으로 갖는 것에 반해 $\ell^{\infty}$ 는 유계성만을 조건으로 갖기 때문에 일어난다.

증명

(a)

Strategy: 수렴하는 수열은 $\displaystyle \left| \sum_{i = i_{0}}^{\infty} a_{i} \right|$ 가 충분히 작아지도록 하는 $i_{0}$ 를 항상 잡을 수 있다. 이 $i_{0}$ 를 기준으로 유한한 부분, 무한한 부분으로 나눈 후 유한 수열이 반드시 수렴하는 점을 이용해 $l^{p_{0}}$ 이 가분 공간이 되도록하는 부분 집합을 구체적으로 찾아낸다.

Claim: $\overline{M} = \ell^{p_{0}}$ 를 만족하는 가산 집합 $M \subset \ell^{p_{0}}$ 가 존재한다.

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특정 $j_{0}$ 부터는 모두 $0$ 만 반복되는 복소수열의 집합

$$M : = \left\{ \left\{ m_{j} \right\} \in \ell^{p_{0}} \ | \ m_{j} \in \mathbb{Q} + i \mathbb{Q} , m_{j} = 0 , \ j>j_{0} , \ j_{0} \in \mathbb{N} \right\}$$

을 생각해보면 $M$ 은 가산 집합이고 $\overline{M} \subset \ell^{p_{0}}$ 는 당연히 성립하므로, $\ell^{p_{0}} \subset \overline{M}$ 만 보이면 충분하다. $l^{p_{0}}$ 의 정의에 따라 모든 수열 $x : = ( x_{1} , x_{2} , \cdots ) \in \ell^{p_{0}}$ 는 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해

$$\left( \sum_{j > N} | x_{j} |^{p_{0}} \right)^{ {{1} \over {p_{0}}} } < {{ \varepsilon } \over {2}}$$

을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재해야한다. 그러면 각각의 $x$ 에 대해

$$\left( |x_{1} - m_{1}|^{p_{0}} + \cdots + |x_{N} - m_{N}|^{p_{0}} \right)^{ {{1} \over {p_{0}}} } < {{\varepsilon} \over {2}}$$

을 만족하는 $m : = (m_{1} , m_{2} , \dots , m_{N} , 0, \dots ) \in M$ 도 존재하므로

$$d^{p_{0}} ( x, m) = \left( \sum_{j \le N} |x_{j} - m_{j}|^{p_{0}} + \sum_{j > N} |x_{j}|^{p_{0}} \right)^{{1} \over {p_{0}}} < {{ \varepsilon} \over {2}} + {{ \varepsilon} \over {2}} = \varepsilon$$

모든 $\varepsilon >0$ 에 대해 $B^{d^{p_{0}}} (x ; \varepsilon ) \cap M \ne \emptyset$ 이므로 $x \in \overline{M}$

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(b)

Strategy: 다루기 쉬운 유계함수 $e_{I} \in \ell^{\infty}$ 와 이들에 대한 함수 $\psi$ 를 정의하고, 이들이 단사임을 이용해 카디널러티를 계산한다.

Claim : $\overline{M} = \ell^{\infty}$ 를 만족하는 가산 집합 $M \subset \ell^{p_{0}}$ 가 존재하지 않는다.

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$\overline{ M} = \ell^{\infty}$ 를 만족하는 모든 $M \subset \ell^{\infty}$ 들이 비가산임을 보이면 충분하다.

• Part 1.

  $I \subset \mathbb{N}$ 을 정의역으로 갖는 함수 $e_{I} : I \to \left\{ 0, 1 \right\}$ 을

  $$e_{I} (j) := \begin{cases} 1 & , j \in I \\ 0 & , j \in ( \mathbb{N} \setminus I ) \end{cases}$$

  와 같이 정의하자. 예를 들어 $I = 2 \mathbb{N} = \left\{ 2, 4, 6 , \cdots \right\}$ 라면 함숫값은 $e_{2 \mathbb{N}} (1) = 0$, $e_{2 \mathbb{N}} (2) = 1$, $e_{2 \mathbb{N}} (3) = 0$, $e_{2 \mathbb{N}} (4) = 1$ 처럼 나타난다.

  이 함수들의 집합 $A: = \left\{ e_{I} \ | \ I \subset \mathbb{N} \right\}$ 을 생각해보면 함수값이 $[0,1]$ 을 벗어날 수 없으므로 $A \subset \ell^{\infty}$ 이다.

• Part 2.

  함수 $\phi : \mathscr{P} ( \mathbb{N} ) \to A$ 를 $\phi (I) : =e_{I}$ 와 같이 정의하자. 그러면 $I , I’ \subset \mathbb{N}$ 가 $I \ne i '$ 면 $\phi (I) = e_{I} \ne e_{I’} = \phi (I’)$ 이므로 $\phi$ 는 단사고, 따라서

  $$|A| \ge | \mathscr{P} ( \mathbb{ N} ) | = 2^{\aleph_{0}} = \aleph_{1}$$

  임의의 $x \in \ell^{\infty} = \overline{M}$ 와 $\varepsilon >0$ 에 대해 $B_{d^{\infty}} (x ; \varepsilon ) \cap M \ne \emptyset$ 이므로

  $$B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap M \ne \emptyset$$

• Part 3.

  $\displaystyle B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap M \ne \emptyset$ 이므로

  $$\psi ( e_{I} ) \in \left( B_{d^{\infty}} \left[ e_{I} ; {{1} \over {3}} \right] \cap M \right)$$

  가 성립하도록 하는 함수 $\psi : A \to M$ 을 정의할 수 있다. $\psi$ 가 단사가 아니라고 가정해보면 $\psi ( e_{I}) = \psi ( e_{I’ })$ 에 대해

  $$\psi ( e_{I}) = \psi ( e_{I’ }) \in \left[ B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap B_{d^{\infty}} \left( e_{I’} ; {{1} \over {3}} \right) \right]$$

  삼각부등식에 따라

  $$1 = d^{\infty} ( e_{I} , e_{I’} ) \le d^{\infty} ( e_{I} , \psi (e_{I}) ) + d^{\infty} ( \psi (e_{I}) , e_{I’} ) \le {{1} \over {3}} + {{1} \over {3}} = {{2} \over {3}}$$

  정리하면 $\displaystyle 1 \le {{2} \over {3}}$ 인데 이는 모순이므로 $\psi$ 는 단사다. 또한 $\psi : A \to M$ 가 단사이므로 $|M| \ge |A| = \aleph_{1}$ 이고 $M$ 은 가산 집합일 수 없다.

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