전사, 단사, 공역, 치역을 쉽게 외우는 방법, 뜻풀이
설명
나는 전사와 단사, 공역을 처음 만났을 때 이름을 외우기가 너무 힘들었다. 차라리 영어로 injective, surjective라고하면 잘 구분이 됐는데 한국어로는 잘 외워지지가 않았다. ‘이게 단사인가? 전사인가?’ ‘공역이 더 큰거였나? 뭐지?’. 이름을 비슷하게 지어놔서 써먹어야할 때 마다 헷갈렸다. 나 같은 사람이 얼마나 많을지 모르겠다만 몇 없더라도 헷갈리지 않도록 도움을 주고자 한다. 이름이 잘 외워지지 않는 이유는 무작정 외우려고해서인데, 각 단어의 뜻을 알고 외우면 오히려 까먹기가 쉽지 않다.
$f$를 $f : X \rightarrow Y$인 함수라고 하자. 그러면 이 때 $Y$를 공역이라 한다. 그리고 $\left\{ f(x) : x \in X \right\}$를 치역이라 한다.
치역의 치는 값 치値이다. 치역은 함숫값 전체를 원소로 가지는 집합이다. 함숫‘값’의 영역이라는 의미에서 치역이다. 공역의 공은 한가지 공共이다. 여기에서의 의미는 ‘전체’이다. 전영역이라는 뜻이다.
전사, 단사할 때 사는 비출 사, 쏠 사射이다. 함수를 그림으로 나타낼 때 주로 화살표를 쓴다. 즉, 정의역의 원소가 치역에 어떻게 이어지는가를 말하는거다.
전사의 전은 온전할 전全이다. 공역과 치역이 같을 때 전사라고 한다. 즉, 정의역이 공역의 모든 부분을 비춘다(혹은 이어져있다)는 의미이다.
단사의 단은 하나 단單이다. 치역의 원소에 하나의 정의역 원소만이 대응될 때 단사라 한다. 같은 말로 일대일 함수가 있다. 그래서 하나씩만 이어져있다는 뜻에서 단사이다.