📂전자기학

적분꼴 가우스 법칙의 응용

설명¹

가우스 법칙은 전기장을 매우 쉽게 계산할 수 있도록 해주지만 항상 그런 것은 아니다. 가우스 법칙 자체는 언제나 성립하지만, 수식적인 이점은 특정한 상황에서만 살릴 수 있다. 아래에서 설명하겠지만 가우스 법칙을 통해 전기장을 쉽게 계산하려면 특정 좌표계가 만드는 곡면에 대해서 전기장 $\mathbf{E}$의 크기가 일정하고, 방향은 수직이어야한다. 구좌표계에서는 구면에 대해 크기가 일정하고, 구면을 뚫고 나가는 방향의 전기장을 쉽게 계산할 수 있다는 말이다. 전기장의 크기가 일정한 등전기장 곡면을 가우스 곡면^{Gaussian surface}이라고 한다. 가우스 곡면을 그릴 수 있는 경우는 세가지가 있다.

가우스 법칙

$$\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\mathrm{in}}$$

구 대칭

반지름이 $r>R$인 구 껍질을 그린다. 이 구 껍질이 가우스 곡면이다. $d\mathbf{a}$와 $\mathbf{E}$의 방향이 같으므로 두 벡터의 내적은 단순히 크기를 곱한 것과 같다. 또한 구 표면에서 전기장의 크기는 일정하므로 상수이다. 따라서 가우스 법칙 공식은 아래와 같이 단순해진다.

$$\int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \int \left|\mathbf{E} \right| da = \left|\mathbf{E} \right| \int da=\left|\mathbf{E} \right| 4\pi r^2$$

가우스 법칙에 의해 $\displaystyle \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}=\frac{1} {\epsilon_{0}} Q_\mathrm{in} = \frac{1}{\epsilon_{0}}q$이므로 연립하여 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && \left|\mathbf{E} \right| 4 \pi r^2 &= \frac{1}{\epsilon_{0}}q \\ \implies && \left|\mathbf{E} \right| &= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{q}{r^2} \\ \implies && \mathbf{E} &= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \end{align*}$$

여기서 중요한 점은 공 밖에서 전기장을 측정하면 그 결과가 마치 총 전하량 $Q_\mathrm{in}$이 공의 중심에 모여있는 것과 같이 나온다는 것이다. 즉 전하량 $q$가 공 내부에서 어떻게 퍼져있는지는 중요하지 않다는 말이다.

원통 대칭

도선을 축으로 하는 반지름이 $s$, 길이가 $l$인 원통을 그린다. 이 원통이 가우스 곡면이다. 구 대칭에서와 같은 요령으로 전기장을 구하면 된다. 전하밀도가 도선과의 거리에 비례한다고 가정하자. 그러면 $\rho=ks$($k$는 상수)이고 $Q_{\mathrm{in}}$을 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} Q_\mathrm{in}&=\int \rho d\tau \\ &= \int_{0}^l \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^s (ks^{\prime})(s^{\prime}ds^{\prime}d\phi dz) \\ &= \frac{2}{3}k\pi l s^3 \end{align*}$$

전기장의 적분을 계산하면 다음과 같다.

$$\int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \int \left| \mathbf{E} \right| da = \left| \mathbf{E} \right| \int da = \left|\mathbf{E} \right| 2 \pi s l$$

원통의 겉넓이인데 뚜껑과 바닥이 포함되어 있지 않음을 이상하게 여길 수 있다. 이는 양 끝에서는 전기장의 방향과 면벡터의 방향이 서로 수직이라 선속이 $0$이기 때문이다. 겉넓이를 계산할 때는 전기장이 수직으로 지나가는 면만 계산해야 하는 점을 주의해야 한다. 이제 두 식을 연립하면 $\displaystyle \left| \mathbf{E} \right| 2 \pi s l = \frac{1}{\epsilon_{0}}\frac{2}{3}k\pi l s^3$ 이므로 다음의 결과를 얻는다.

$$\mathbf{E} = \frac{1}{3\epsilon_{0}}ks^2 \hat{\mathbf{s}}$$

도선이 한 없이 긴 경우에 대해서 계산했지만 도선이 길고 양 끝에서 충분히 떨어진 곳이라면 근사값으로 볼 수 있다.

면 대칭

같은 요령으로 해결한다. 평판의 위 아래로 두께가 같은 직육면체를 그린다. 이 두 직육면체가 가우스 곡면이다. 가우스 곡면의 윗면(아랫면)의 넓이를 $A$라고 하자. 그리고 평판의 면전하밀도를 $\sigma$라고 하면 가우스 곡면에 둘러 쌓인 평판의 총 전하량은 다음과 같다.

$$Q_\mathrm{in}=\sigma A$$

전기장의 적분을 계산하면 다음과 같다.

$$\int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}=\left| \mathbf{E} \right| \int d\mathbf{a} = \left| \mathbf{E} \right| 2A$$

따라서 가우스 법칙에 의해 다음이 성립한다.

$$\int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{1}{\epsilon_{0}}Q_\mathrm{in}=\frac{1}{\epsilon_{0}}\sigma A$$

이 때 옆면에 대한 선속은 $0$이므로 윗면과 아랫면에 대한 선속만 남아 값이 $2A$이다. 옆면에 대한 선속이 $0$인 이유는 면벡터 $d\mathbf{a}$와 전기장 $\mathbf{E}$가 수직이라 내적의 값이 $0$이기 때문이다. 정리하면 아래와 같다.

$$\mathbf{ E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\hat{\mathbf{n}}$$

여기서 중요한 점은 무한 평판과 얼마나 떨어져있던지 간에 전기장의 크기가 같다는 것이다. 그 이유는 평판에서 멀어질수록 그 지점에 도달하는 전기장이 더 많아지기 때문이다. 높은 곳에 올라갈수록 더 넓게 볼 수 있다는 점을 생각해보자. 멀어져서 전기장이 약해지지만 그 만큼 더 많은 곳에서 영향을 받기 때문에 서로 상쇄된다고 생각하면 된다. 원통 대칭에서와 마찬가지로 평판이 넓고 모서리에서 충분히 떨어진 곳이라면 근사값으로 볼 수 있다.

결론

전하를 띄는 공이 만드는 전기장은 $\dfrac{1}{r^2}$에 비례하고, 무한 도선이 만드는 전기장은 $\dfrac{1}{r}$에 비례하고, 무한 평판이 만드는 전기장은 거리에 무관하다.