단열감률의 열역학적 유도
📂열물리학단열감률의 열역학적 유도
공식
m 을 기체 분자의 질량, h를 높이, T를 온도라고하면 다음의 식이 성립한다.
dhdT=−γγ−1kBmg
이때 γ=CVCp 는 등압 열용량과 등적 열용량의 비율이다.
설명
알다시피 고도가 올라갈수록 기온은 떨어지는데, 그 비율을 수식적으로 나타낸 것이다. 물론 이는 습도와 같은 여러가지 변수들을 전혀 고려하지 않고 열역학만을 이용해 유도한 결과다. 이 때 기체 분자는 고도의 차이만 있을 뿐 외부와 열을 주고받지 않는 단열 과정을 가정한다. 대기에서 바람과 바람이 만날 때 섞이기 보단 따뜻한 바람이 위로, 차가운 바람이 아래로 가는 것을 상상하면 좋다.
유도
Part 1. pTdp=−kBTmgdh
두께가 dh인 대기가 밀도가 ρ일 때 가해지는 압력이 p라고 하면 다음이 성립한다.
dp=−ρgdh
이상기체 방정식
pV=NkBT
밀도는 질량이 m이고 분자가 N개일 때 ρ=Nm이고, 이상기체 방정식에서 N=kBTp 이므로 다음이 성립한다.
dp=−kBTpmgdh
조금 더 정리하면 다음을 얻는다.
pTdp=−kBmgdh
Part 2. pTdp=γ−1γdT
이상 기체의 단열 팽창
pVγ은 상수다.
pVγ 은 상수인데, 이상기체 방정식에서 Vγ∝(p−1T)γ이므로 다음의 식은 상수다.
pVγ=p(p−1T)γ=p1−γTγ=C
위 식의 양변에 로그를 취하면 다음과 같다.
(1−γ)lnp+γlnT=lnC
전미분을 취하면 다음과 같다.
(1−γ)p1dp+γT1dT=0
정리하면 다음을 얻는다.
pTdp=γ−1γdT
Part 3.
위의 **Part 1.**과 **Part 2.**의 결과를 종합하면 다음과 같다.
−kBTmgdh=γ−1γdT
정리하면 다음을 얻는다.
dhdT=−γγ−1kBmg
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