logo

단열감률의 열역학적 유도 📂열물리학

단열감률의 열역학적 유도

공식

mm 을 기체 분자의 질량, hh를 높이, TT온도라고하면 다음의 식이 성립한다.

dTdh=γ1γmgkB \dfrac{dT}{dh} = - {{ \gamma -1} \over { \gamma }} \dfrac{ mg }{k_{B}}

이때 γ=CpCV\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}}등압 열용량과 등적 열용량의 비율이다.

설명

알다시피 고도가 올라갈수록 기온은 떨어지는데, 그 비율을 수식적으로 나타낸 것이다. 물론 이는 습도와 같은 여러가지 변수들을 전혀 고려하지 않고 열역학만을 이용해 유도한 결과다. 이 때 기체 분자는 고도의 차이만 있을 뿐 외부와 열을 주고받지 않는 단열 과정을 가정한다. 대기에서 바람과 바람이 만날 때 섞이기 보단 따뜻한 바람이 위로, 차가운 바람이 아래로 가는 것을 상상하면 좋다.

유도

  • Part 1. Tpdp=mgkBTdh\dfrac{T}{p} dp = - \dfrac{mg}{k_{B} T} dh

    두께가 dhdh인 대기가 밀도가 ρ\rho일 때 가해지는 압력pp라고 하면 다음이 성립한다.

    dp=ρgdh dp = - \rho g dh

    이상기체 방정식

    pV=NkBT pV = N k_{B} T

    밀도는 질량이 mm이고 분자가 NN개일 때 ρ=Nm\rho = Nm이고, 이상기체 방정식에서 N=pkBTN = \dfrac{p}{k_{B} T} 이므로 다음이 성립한다.

    dp=pkBTmgdh dp = - {{p} \over {k_{B} T}} m g dh

    조금 더 정리하면 다음을 얻는다.

    Tpdp=mgkBdh \dfrac{T}{p} dp = - {{mg} \over {k_{B}}} dh

  • Part 2. Tpdp=γγ1dT\dfrac{T}{p} dp = \dfrac{ \gamma }{ \gamma -1} dT

    이상 기체의 단열 팽창

    pVγp V^{\gamma}은 상수다.

    pVγp V^{\gamma} 은 상수인데, 이상기체 방정식에서 Vγ(p1T)γV^{\gamma} \propto ( p^{-1} T )^{\gamma}이므로 다음의 식은 상수다.

    pVγ=p(p1T)γ=p1γTγ=C p V^{\gamma} = p ( p^{-1} T )^{\gamma} = p^{1- \gamma} T^{\gamma} = C

    위 식의 양변에 로그를 취하면 다음과 같다.

    (1γ)lnp+γlnT=lnC (1- \gamma) \ln p + \gamma \ln T = \ln C

    전미분을 취하면 다음과 같다.

    (1γ)1pdp+γ1TdT=0 (1 - \gamma ) {{1} \over {p}} dp + \gamma {{1} \over {T}} dT = 0

    정리하면 다음을 얻는다.

    Tpdp=γγ1dT \dfrac{T}{p} dp = \dfrac{ \gamma }{ \gamma -1} dT

  • Part 3.

    위의 **Part 1.**과 **Part 2.**의 결과를 종합하면 다음과 같다.

    mgkBTdh=γγ1dT -\dfrac{mg}{k_{B} T} dh = \dfrac{ \gamma }{ \gamma -1} dT

    정리하면 다음을 얻는다.

    dTdh=γ1γmgkB \dfrac{dT}{dh} = - \dfrac{ \gamma -1}{ \gamma } \dfrac{ mg }{k_{B}}