📂추상대수

제1동형 정리 증명

정리 ¹

$G,G'$ 가 군이라 하자.

• 제1동형 정리: 준동형사상 $\phi : G \to G'$ 이 존재하면 $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$
• 제2동형 정리: $H \le G$ 이고 $N \triangleleft G$ 면 $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$
• 제3동형 정리: $H , K \triangleleft G$ 이고 $K \leq H$ 면 $$ G/H \simeq (G/K) / (H/K) $$

동형 정리^{isomorphism theorem}는 대수학자 에미 뇌터에 의해 증명된 정리로 독립적인 위의 세 가지 정리를 일컫는다.

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• $\ker$ 은 커널이다.
• $N \triangleleft G$ 은 $N$ 이 $G$ 의 정규부분군임을 의미한다.

설명

제1동형 정리는 위의 도식에서 빨간색에 해당하는 동형 사상 $\color{red} {\mu}$ 가 존재함을 의미한다. 이는 군에서 $\phi$ 에 대해 필요 없는 부분을 버리고 핵을 일종의 ‘단위’로 삼는 구조체만을 남길 수 있음을 시사한다.

증명

$K : = \ker ( \phi )$ 라고 했을 때 $\mu : G / K \to \phi (G)$ 를 $\mu (xK) = \phi ( x)$ 와 같이 정의하자. 이 $\mu$ 가 동형 사상임을 보이면 된다.

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Part 1. $\mu$ 는 함수다.

$x,y \in G$ 와 $G'$ 의 항등원 $e'$ 에 대해

$$ \begin{align*} & xK = yK \\ \iff & x^{-1} y \in K \\ \iff & \phi ( x^{-1} y ) = e' \\ \iff & \phi ( x^{-1} ) \phi ( y ) = e' \\ \iff & \phi ( x ) ^{-1} \phi ( y ) = e' \\ \iff & \phi ( x ) = \phi ( y ) \end{align*} $$ 즉 $xK = yK \implies \phi ( x ) = \phi ( y )$ 이므로 $\mu$ 는 함수다.

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Part 2. $\mu$ 는 단사다.

Part 1에서의 과정을 거꾸로 타고 올라가면 $\phi ( x ) = \phi ( y ) \implies xK = yK$ 이므로 $\mu$ 는 단사다.

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Part 3. $\mu$ 는 전사다.

$\mu ( G / K ) = \left\{ \mu (xK) \ | \ x \in G \right\} = \left\{ \phi (x) \ | \ x \in G \right\} = \phi (G)$ 이므로 $\mu$ 는 전사다.

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Part 4. $\mu$ 는 준동형 사상이다.

$x,y \in G$ 에 대해 $$ \mu (xKyK) = \mu (xyK) = \phi (xy) = \phi (x) \phi (y) = \mu (xK) \mu (yK) $$ 이므로 $\mu$ 는 준동형 사상이다.

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일반화

한편 제1동형 정리를 환에 대해 확장한 정리가 알려져있다. 증명법은 거의 똑같고, 군과 달리 덧셈과 곱셈 두가지 연산을 생각한다는 점이 다르다.

준동형사상의 기본정리: 환 $R$, $r '$ 에 대해 준동형사상 $\phi : R \to r '$ 이 존재하면 $R / \ker ( \phi ) \simeq \phi (R)$