이상기체의 단열 팽창
정리
몰수가 $1$이고 단열 팽창을 하는 이상기체의 계에서 압력이 $p$, 부피가 $V$라고 하면 $p V^{\gamma}$은 상수다.
이때 $\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}}$ 는 등압 열용량과 등적 열용량의 비율이다.
설명
단열 팽창이란 열에너지가 변하지 않는 조건에서의 팽창을 말한다. $\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}}$ 는 물리적으로의 의미는 딱히 없다.
증명
$$ d U = \delta Q + \delta W $$
열역학 제1법칙에 의해 $dU(T,V)$ 는 완전미분이고 다음이 성립한다.
$$ dU = \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV $$
$$ \left< E_{K} \right> = \dfrac{3}{2} k_{B} T $$
기체 분자들의 평균 운동에너지가 위와 같으므로 전체 에너지는 이에 분자수 $N$ 을 곱한 것과 같다.
$$ U = \dfrac{3}{2} N K_{B} T $$
따라서 $\dfrac{\partial U}{\partial V} = 0$ 인데, 그리고 $C_{V} = \dfrac{\partial U}{\partial T}$ 이므로 $dU = C_{V} dT$가 성립한다. 또한 열에너지가 변하지 않으므로 $\delta Q = 0$이다. 이를 열역학 제1법칙에 대입하면 다음을 얻는다.
$$ C_{V} dT dU = \delta Q + \delta W = \delta W \implies C_{V} dT = \delta W $$
그런데 $\delta W = - p d V$가 성립하고, 이때 몰수가 $n=1$인 기체라고 하면, 이상기체 방정식은 $p = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{RT}{V}$이다. 따라서 다음의 식을 얻는다.
$$ \begin{align*} C_{V} dT =& \delta W \\ =& -pdV \\ =& - \dfrac{RT}{V} dV \end{align*} $$
여기서 $\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}} = 1+ \dfrac{R}{C_{V}}$$\implies C_{V}=\dfrac{R}{\gamma -1 }$이므로 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} & C_{V} dT =& - \dfrac{RT}{V} dV \\ \implies && \dfrac{R}{\gamma -1 }dT =& -\dfrac{RT}{V} dV \\ \implies && \dfrac{1}{T}dT =& \dfrac{1-\gamma}{V} dV \end{align*} $$
팽창 전의 부피와 온도를 $V_{1}, T_{1}$, 팽창 후의 부피와 온도를 $V_{2}, T_{2}$라고 하고 양변을 적분하면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} & \int _{T_{1}} ^{T_{2}}\dfrac{1}{T}dT =& \int _{V_{1}} ^{V_{2}}\dfrac{1-\gamma}{V} dV \\ \implies && \ln \dfrac{T_{2}}{T_{1}} =& (1 - \gamma) \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}} \\ \implies && \dfrac{T_{2}}{T_{1}} =& \left( \dfrac{V_{2}}{V_{1}} \right)^{1-\gamma} \\ \implies && T_{2} V_{2}^{\gamma - 1} =& T_{1} V_{1 }^{\gamma - 1} \end{align*} $$
따라서 $TV^{\gamma -1}$ 는 상수다. 이상기체 방정식에서 $T = \dfrac{pV}{R}$이므로 다음을 얻는다.
$$ TV^{\gamma -1} = \dfrac{pV}{R} \cdot V^{\gamma -1} = pV^{\gamma} $$
그러므로 $pV^{\gamma}$ 는 상수다.
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