📂전자기학

전기장의 선속과 가우스 법칙

정의¹

면 $\mathcal S$를 지나는 전기장 $\mathbf{E}$의 선속^flux을 다음과 같이 정의한다.

$$ \Phi_{E} \equiv \int_{\mathcal S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} $$

이제 $\mathcal{S}$를 어떤 닫힌 곡면이라고 하자. 닫힌 곡면 안의 총 전하량을 $Q_{\text{in}}$라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\mathrm{in}} $$

이를 가우스 법칙^{Gauss’ law}이라고 한다.

선속

선속, 플럭스란 어떤 물리량이 특정한 면에 대해 수직으로 지나가는 양을 말한다. 예를 들어 관에 흐르는 물이나 기체는 그 관의 수직 면에 대해서 평행하게 흐르기 때문에 흐르는 양 자체가 선속과 같다. 하지만 전기장은 관을 따라 흐르지 않는다. 따라서 전기장의 선속은 내적을 이용해서 구한다. 내적을 하면 평행하지 않은 성분은 모두 0으로 계산되기 때문이다

어떤 면을 지나는 전기장선이 위의 그림과 같다고 하자. 여기서 우리가 궁금한 것은 면을 수직으로 지나는 정도가 얼마나 되냐는 것이다. 다들 알다시피 벡터는 분해가 가능하다. 전기장선을 면에 수직한 방향과 평행한 방향으로 분해하자. 그러면 아래의 그림과 같이 된다. 우리의 목적은 그림에서 표시된 $\mathbf{E}_\parallel$을 구하는 것이다. 면벡터 $d\mathrm{a}$의 크기는 $1$이므로 내적을 이용해서 아래와 같은 수식으로 구할 수 있다.

$$ \mathbf{E}_\parallel=\mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} $$

위에서 했던 방법에 따라 주어진 면에 대한 전기장의 선속을 다음과 같이 정의한다.

$$ \Phi_{E} \equiv \int_{\mathcal S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} $$

가우스법칙(적분꼴)

가우스 법칙의 핵심은 닫힌 곡면 밖에 있는 전하는 선속에 아무런 영향도 주지 않는다는 것이다.

그림을 보면 닫힌 곡면을 바깥에서 부터 뚫고 지나가는 전기장선에 의한 선속은 면의 양 끝에서 2번 계산된다. 닫힌 곡면에서 면벡터의 방향은 항상 면의 바깥쪽으로 정의한다. 양끝면의 면벡터 방향이 서로 반대이므로 양끝면을 지나가는 선속의 크기는 같고, 방향은 다르다. 이 둘을 더하면 $0$이 되므로 닫힌 곡면 바깥의 전하는 선속에 영향을 주지 않는다.

유도

이제 점전하 $Q$가 반지름이 $r$인 구의 중심에 있다고 하자. 이 때 구면을 지나가는 전기장 $\mathbf{E}$의 선속을 구해보자. 쿨롱 법칙으로 전기장을 표현하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \Phi_{E} &= \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^\pi \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_{0} q r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \right) \cdot \left( r^{2}\sin\theta d\theta d \phi \hat{\mathbf{r}} \right) \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}Q \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^\pi \sin\theta d\theta \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}Q (2\pi)(2) \\ &= \frac{1}{\epsilon_{0}}Q \end{align*} $$

결과를 보면 반지름 $r$에 대해 무관한 것을 알 수 있다. 이는 구의 표면적은 $r^{2}$에 비례하고, 전기장은 $r^{2}$에 반비례하기 때문이다. 서로 상쇄되어 결과에 영향을 주지 않는다. 곡면 안에 여러 점전하가 있을 경우는 단순히 더해주면 된다. 여러 점전하에 대한 전기장이 중첩원리에 따라 단순히 더한 것이기 때문이다. 예를 들어 점전하 $Q_{1}$, $Q_{2}$가 있고 $Q=Q_{1}+Q_{2}$라고 하면 결과가 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} &= \oint \left( \sum \limits_{i=1}^{2} \mathbf{E}_{i} \right) \cdot d\mathbf{a} \\ &= \oint \left( \mathbf{E}_{1} + \mathbf{E}_{2} \right) \cdot d\mathbf{a} \\ &= \oint \mathbf{E}_{1} \cdot d\mathbf{a} + \oint \mathbf{E}_{2} \cdot d\mathbf{a} \\ &= \frac{1}{\epsilon_{0}}Q_{1}+\frac{1}{\epsilon_{0}}Q_{2} \\ &= \frac{1}{\epsilon_{0}}(Q_{1}+Q_{2})=\frac{1}{\epsilon_{0}}Q \end{align*} $$

당연히 점전하가 3개 이상일 때도 결과는 마찬가지다. 따라서 닫힌 곡면 안의 총 전하량을 $Q_{\text{in}}$이라고 하고, 각 전하가 만드는 전기장의 합인 총 전기장을 $\mathbf{E}$라고 할 때 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\text{in}} \label{1} \end{equation} $$

미분꼴

발산 정리

$$ \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{v} d\tau = \oint _{S} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} $$

발산 정리를 $\eqref{1}$에 적용하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{E} d\tau = \oint _{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a} = \frac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\text{in}} $$

이 때 단위부피당 전하량인 부피전하밀도를 $\rho$라고 하자. 그러면 부피 내부의 총 전하량 $Q_\mathrm{in}$와 $\rho$의 관계는 다음과 같다.

$$ Q_\mathrm{in}=\int_\mathcal{V} \rho d\tau $$

위의 두 식의 결과를 합치면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} && \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{E} d\tau &= \int_\mathcal{V} \frac{1}{\epsilon_{0}}\rho d\tau \\ \implies && \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \end{align*} $$

이를 가우스 법칙의 미분꼴이라 하며, 맥스웰 방정식 중의 하나이다.