📂위상수학

위상공간의 데카르트 곱

정의 ¹

인덱스 집합 $\mathscr{A}$ 에 대해 $\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 위상공간들의 집합이고 $O_{\alpha}$ 을 $X_{\alpha}$ 에서 열린 집합이라고 하자.

1. 데카르트 곱 $\displaystyle X := \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{ \alpha}$ 에 대해 $p_{\alpha} : X \to X_{\alpha}$ 를 사영^projection이라 한다.
2. 부분기저 $\mathscr{S} : = \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( O_{\alpha} ) \ | \ O_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 에 의해 생성되는 $X$ 의 위상을 곱위상^{product Topology}라 한다.
3. 기저 $\displaystyle \mathscr{B} : = \left\{ \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} O_{\alpha} \left. \ \right| \ O_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 에 의해 생성되는 $X$ 의 위상을 상자위상^{box Topology}라 한다.

정리

• [1]: $p_{\alpha}$ 는 연속함수다.
• [2]: $\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 하우스도르프 공간들의 집합이면 $X$ 는 하우스도르프다.
• [3]: $\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 연결 공간들의 집합이면 $X$ 는 연결이다.
• [4]: $\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 컴팩트 공간들의 집합이면 $X$ 는 컴팩트다.

$\mathscr{A} = \mathbb{N}$ 이라고 하자.

• [5]: $\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 가분 공간들의 집합이면 $X$ 는 가분이다.
• [6]: $\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 제1가산 공간들의 집합이면 $X$ 는 제1가산이다.
• [7]: $\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 제2가산 공간들의 집합이면 $X$ 는 제2가산이다.
• [8]: $\mathscr{A}$ 가 유한집합이면 $X$ 의 곱위상과 상자위상은 같다.

설명

하필 정의에 이해하기도 서술하기도 어려운 부분기저가 등장하는 것은 교집합을 쓰기 위한 이유가 크다. 기저의 정의 상으로는 합집합 외엔 나올 여지가 없기 때문이다.

부분기저의 정의에 따라 곱위상의 부분기저 $\mathscr{S}$ 로 만들어지는 기저는 $$ \left\{ \left. \bigcap_{i=1}^{n} p_{\alpha_{i} }^{-1} ( O_{ \alpha_{i} } ) \ \right| \ p_{\alpha_{i} }^{-1} ( O_{ \alpha_{i} } ) \in \mathscr{S} \right\} $$ 이다. 당연하지만 상자위상의 기저 $\mathscr{B}$ 에 대해 $$ \left\{ \left. \bigcap_{i=1}^{n} p_{\alpha_{i} }^{-1} ( O_{ \alpha_{i} } ) \ \right| \ p_{\alpha_{i} }^{-1} ( O_{ \alpha_{i} } ) \in \mathscr{S} \right\} \subset \mathscr{B} $$ 가 성립한다. 상자위상의 기저가 곱위상의 부분기저에서 만들어지는 기저를 포함한다는 것은 상자위상의 원소가 곱위상의 원소보다 같거나 많다는 뜻으로, 이에 대해 곱위상은 상자위상보다 작다^smaller,엉성하다^coarser, 약하다^weaker고 표현한다.

정리 [8]이 성립하는 것은 의외로 아주 드문 경우라는 뜻이다. 팩트로써 ‘상자 안에 곱이 들어있다’고 외우면 안 헷갈린다. 차원에 대한 일반화로 봤을 때 유한차원도 아니고 가산무한차원도 아니고 임의의 차원까지 건드린다는 것은 다소 충격적이다.

비전공자들이 보는 위상수학

하지만 위상수학에서 이러한 데카르트 곱을 생각하는 것은 다른 그 어떤 분야보다도 흥미롭다. 차원에 대한 일반화든 다변량 해석이든 다 좋지만, 이제서야 뭔가 대중에게 알려진 위상수학에 가까워지기 때문이다.

$I := [0,1]$ 와 $S^{1} = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 =1 \right\}$ 에 대해 아래의 공간을 생각해보자.

왼쪽부터 순서대로 정사각형 $I \times I$ , 원통 $I \times S^{1}$ , 토러스 $S^{1} \times S^{1}$ 이다.

한 점 컴팩트화부터 시작해서 이제야 무언가 공간이 휘고 접히는 느낌이 드는 수학이 된 것이다.

같이보기

• 집합의 데카르트 곱
• 군의 데카르트 곱
• 위상 공간의 데카르트 곱