군의 데카르트 곱
정의 1 2
- 군 $G_{1} , \cdots , G_{n}$ 들의 데카르트 곱과 그 원소 $\displaystyle (a_{1},\cdots , a_{n}), (b_{1} , \cdots , b_{n} ) \in \prod_{i=1}^{n} G_{i}$ 에 대해 $$ (a_{1},\cdots , a_{n}) (b_{1} , \cdots , b_{n} ) = (a_{1} b_{1},\cdots , a_{n} b_{n}) $$ 이면 $\displaystyle \prod_{i=1}^{n} G_{i}$ 를 $G_{1} , \cdots , G_{n}$ 들의 직곱direct Product이라 한다.
- 특히 $G_{1}, \cdots , G_{n}$ 이 가환군이면 $\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n} G_{i}$ 로 쓰고 직합direct Sum이라고도 부른다.
- $G_{1}$ 가 $G$ 의 부분군라고 할 때, 다음을 만족하는 $G$ 의 또다른 부분군 $G_{2}$ 이 존재하면 $G_{1}$ 을 피직합군direct Summand라 부른다. $$ G = G_{1} \oplus G_{2} $$
성질
$G = G_{1} \oplus G_{2}$ 이라고 하자. 만약 $H_{1}$ 이 $G_{1}$ 의 부분군, $H_{2}$ 가 $G_{2}$ 의 부분군이라면, $H_{1}$ 와 $H_{2}$ 역시 직합으로 나타낼 수 있으며 특히 다음이 성립한다. $$ {{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }} $$
- [1]: $H_{1} \simeq G_{1}$ 이고 $H_{2} \simeq \left\{ 0 \right\}$ 이라 두면 $$ G / G_{1} \simeq G_{2} $$
- [2]: $H_{1} \simeq \left\{ 0 \right\}$ 라 두면 $$ {{ G } \over { H_{2} }} \simeq G_{1} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }} $$
설명
벡터 공간은 덧셈에 대해 군이지만 군은 벡터공간이 아니므로 선형대수학과의 직합과 정확하게 일치하지는 않지만, 비교가 어떤 의미를 갖게 되려면 적어도 환 정도는 되어야한다.
예로써 클라인 사원군은 $V \simeq \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ 를 만족하며, $\gcd (m , n) = 1$ 이면 $\mathbb{Z}_{m} \times \mathbb{Z}_{n} \simeq \mathbb{Z}_{mn}$ 이 순환군이라는 정리 등이 알려져있다.
프리그룹
노테이션 상으로는 프리 아벨 그룹의 경우 그냥 정수환 $\mathbb{Z}$의 직합과 아이소멀픽하다고 표현하는 편이다. 예를 들어 $G$ 가 랭크 $3$ 인 프리 아벨 그룹이라면, $G$ 는 그냥 다음과 같이 나타내기도 한다. $$ G \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $$