📂동역학

리들드 베이신

정의 ¹

동역학계에서 $n$ 개의 어트랙터에 대한 베이신 $R_{1} , \cdots , R_{n}$ 이 주어져 있다고 하자. 집합 $\mathcal{R}$ 이 모든 $\mathbf{x} \in \mathcal{R}$ 와 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 오픈 볼 $B \left( \mathbf{x} ; \varepsilon \right)$ 이 모든 $R_{1} , \cdots , R_{n}$ 과 서로소가 아니면 $R$ 을 리들드 베이신^{riddled basin}이라 한다: $$ \forall \mathbf{x} \in \mathcal{R} , \varepsilon > 0 , k = 1 , \cdots n : B \left( \mathbf{x} ; \varepsilon \right) \cap R_{k} \ne \emptyset \implies \mathcal{R} \text{ is a riddled basin} $$

예시 ²

리들드 베이신이란 쉽게 말해서 여러 어트랙터에 대한 베이신이 복잡한 구조를 갖추고 섞여있는 베이신으로, 아무리 작은 네이버후드를 잡아도 그 안에 모든 베이신을 포함한다. 정의 상 리들드 베이신의 아무리 작은 부분집합을 잡더라도 이러한 성질은 계속 반복해서 나타나게 되고 프랙털과의 연관성을 찾아볼 수 있다.

$$ f : z \mapsto z^{2} - \left( 1 + i a \right) \bar{z} $$ 예로써 위와 같이 복소평면에서 맵으로 정의된 동역학계를 생각해보자. 여기서 직선 $N_{1} = \left\{ z = x + iy : y = a/2 \right\}$ 는 $a$ 가 무엇이든 $$ \begin{align*} & f \left( x + i a / 2 \right) \\ =& \left( x + i a / 2 \right)^{2} - \left( 1 + i a \right) \left( x - i {\frac{ a }{ 2 }} \right) \\ =& x^{2} - {\frac{ 3 a^{2} }{ 4 }} - x + i {\frac{ a }{ 2 }} \end{align*} $$ 이므로 $f \left( N_{1} \right) \subset N_{1}$, 다시 말해 $f$ 하에서 불변임을 알 수 있다. 이 직선을 원점에 대해 ${\frac{ 4 \pi }{ 3 }}$만큼 회전변환을 취한 직선을 $N_{2}$, 한번 더 회전시킨 직선을 $N_{3}$ 라고 할 때, 이들은 실제로 $f$ 의 세 가지 어트랙터가 된다고 한다.

세 가지 어트랙터에 대한 베이신을 각각 적색, 녹색, 청색으로 시각화를 해보면 위와 같이 나타나는데, 리들드 베이신은 그 어떤 곳에 아무리 작은 원을 잡아도 세 가지 베이신과 겹치는 부분이 있다. 하나의 색 입장에서 보자면 어딜 파더라도 구멍이 숭숭 뚫려있는^riddled것으로 볼 수 있으니, 그 명명이 적절함을 할 수 있다.