📂열물리학

스털링 공식의 간단한 유도

공식

다음의 방정식을 스털링 공식^{stirling's formula}이라 한다.

$$\lim_{n \to \infty} {{n!} \over {e^{n \ln n - n} \sqrt{ 2 \pi n} }} = 1$$

설명¹

이 근사는 큰 수에 대한 팩토리얼의 계산이라는 측면에서 유용하다. 열열학, 통계역학과 같은 분야에선 많은 수의 분자를 가정하기 때문에 필수적이며,

$$\begin{align*} n! &\approx \sqrt{2\pi n}\left( \dfrac{n}{e} \right)^{n} \\[0.6em] \log_{2} n! &\approx n \log_{2} n - n \log_{2}e \\[0.6em] \ln n! &\approx n \ln n - n \end{align*}$$

와 같이 더 간략화된 표현도 사용된다. 아래의 증명은 해석학적으로 다소 엄밀성이 떨어지지만, 응용을 위해 팩트만을 중시한다면 충분하다.

같이보기

• 수리통계적 증명
• 엄밀한 증명

유도 ²

감마함수 $\displaystyle n! = \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-x} dx$ 에서 시작하도록 하자. $f(x) = n \ln x - x$라고 두면 다음의 식이 성립한다.

$$e^{f(x)} = x^{n} e^{-x}$$

$\displaystyle {{df(x)} \over {dx}} = {{n } \over {x }} - 1$ 이고 $\displaystyle {{d^2 f(x)} \over {dx^2 }} = - {{n } \over {x^2 }}$, 그리고 $\displaystyle {{d^3 f(x)} \over {dx^3 }} = {{ 2n } \over {x^3 }}$ 이므로 $f$ 의 테일러 전개는 다음과 같다.

$$\begin{align*} f(x) =& f(n) + f '(n) (x-n) + {{1} \over {2!}} f ''(n) (x-n)^2 + {{1} \over {3!}} f^{(3)} (n) (x-n)^3 + \cdots \\ =& n \ln n - n + 0 \cdot (x-n) - {{1} \over {2}} {{n} \over{ n^2}} (x-n)^2 + {{1} \over {6}} {{2n} \over{ n^3}} (x-n)^3 + \cdots \\ =& n \ln n - n - {{ (x-n)^2 } \over{ 2n }} + {{ (x-n)^3 } \over{ 3 n^2 }} + \cdots \end{align*}$$

$n$ 이 충분히 클 때, $\displaystyle {{ (x-n)^2 } \over{ 2 n }}$ 이후의 항들은 분모가 커지는 속도가 너무 빨라서 무시할 수 있다. 따라서 아래의 결과를 얻는다.

$$f(x) \approx n \ln n - n - {{ (x-n)^2 } \over{ 2n }}$$

또한 $n$ 이 충분히 크다면 가우스 곡선의 적분은 $0$ 부터 $\infty$ 까지 하나 $-\infty$ 부터 $\infty$ 까지 하나 큰 차이가 없다. 결과적으로, 충분히 큰 $n$ 에 대해 $$n! = e^{n \ln n - n} \int_{0}^{\infty} e^{-(x-n)^2 / 2n + \cdots } dx \approx e^{n \ln n - n} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-n)^2 / 2n } dx$$ 가우스 적분에 의해 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-n)^2 / 2n } dx = \sqrt{ 2 \pi n}$ 이므로 다음의 식이 성립한다.

$$n! \approx e^{n \ln n - n} \sqrt{ 2 \pi n}$$

양변에 로그를 취하면 아래의 식을 얻는다.

$$\ln n! \approx n \ln n - n + \dfrac{1}{2}\ln 2\pi n$$

$n$ 이 아주 크다면 다음의 근사식이 성립한다.

$$\ln n! \approx n \ln n - n$$

■