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상관관계 차원 📂동역학

상관관계 차원

정의 1 2

거리공간 (X,d)\left( X , d \right) 에서 집합 S={x1,⋯ ,xn}⊂XS = \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} \subset X 의 원소를 x∈Sx \in S 과 같이 나타내자. 중심이 xx 이고 반경이 ε>0\varepsilon > 0 인 오픈 볼 B(x;ε)B \left( x ; \varepsilon \right) 에 속한 SS 의 원소의 수를 Nx(ε)N_{x} ( \varepsilon ) 이라 한다: Nx(ε):=∣B(x;ε)∩S∣ N_{x} ( \varepsilon ) := \left| B \left( x ; \varepsilon \right) \cap S \right| 만약 다음과 같은 극한이 존재한다면, 이를 xx 에서의 점별 차원pointwise dimension at xx이라 한다. lim⁡ε→0log⁡Nx(ε)log⁡ε \lim_{\varepsilon \to 0} {\frac{ \log N_{x} (\varepsilon) }{ \log \varepsilon }} ε\varepsilon 가 주어져 있을 때, C(ε)C ( \varepsilon ) 을 다음과 같이 정의한다. C(ε)=∣{(u,v)∈S×S:d(u,v)<ε∣}∣S×S∣=1n∑x∈SNx(ε)n \begin{align*} C (\varepsilon) =& {\frac{ \left| \left\{ (u, v) \in S \times S : d (u, v) < \varepsilon \right| \right\} }{ \left| S \times S \right| }} \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{x \in S} {\frac{ N_{x} ( \varepsilon ) }{ n }} \end{align*} 만약 다음과 같은 극한 cordim⁡(S)\operatorname{cordim} (S) 이 존재한다면, 이를 SS 의 상관관계 차원correlation dimension이라 한다. cordim⁡(S)=lim⁡ε→0log⁡C(ε)log⁡ε \operatorname{cordim} (S) = \lim_{\varepsilon \to 0} {\frac{ \log C (\varepsilon) }{ \log \varepsilon }}

설명

상관관계 차원은 그 공식 상 차원의 저주를 받지 않아 박스-카운팅 차원 등의 다른 프랙털 차원에 비교했을 때 계산 상의 이점이 있다. 박스-카운팅 차원은 XX 의 차원이 늘어남에 따라 다뤄야 할 공간의 축이 너무 많아져서 박스를 나누는 것부터가 쉽지 않아진다.

정의 그 자체에서 집합 SS 가 어떤 조건을 만족해야한다고 언급하지는 않았지만, 동역학계의 관점에선 주로 맵 xt+1=f(xt)x_{t+1} = f \left( x_{t} \right) 와 같이 표현되는 시스템에서 nn번의 반복iteration을 통해서 얻은 트래젝터리 S={x1,⋯ ,xn}S = \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} 을 생각할 수 있다. 이러한 의미에서 Nx(ε)N_{x} (\varepsilon) 은 시스템의 상태가 xx 근방에 얼마나 자주 방문했는지를, Nx(ε)/nN_{x} (\varepsilon) / n 은 길이가 nn 인 전체 트래젝터리에 포함된 점이 xx 의 근처에 얼마나 오래 머무르는지를 백분률로써 나타낸다. 그리고 SS 전체에서 그 평균으로써 정의되는 C(ε)C (\varepsilon) 는 ε=0\varepsilon = 0 일 때 1/n1 / n, ε=∞\varepsilon = \infty 일 때 11 의 값을 가진다: C(0)=1n→0 as n→∞C(∞)=1 \begin{align*} C ( 0 ) =& {\frac{ 1 }{ n }} \to 0 \text{ as } n \to \infty \\ C ( \infty ) =& 1 \end{align*}

전형적으로 이러한 C(ε)C \left( \varepsilon \right) 은 반경 ε\varepsilon 에 대해 다음과 같이 멱법칙power law를 따른다고 한다. C(ε)≈εd C ( \varepsilon ) \approx \varepsilon^{d} 이에 따라 우리는 dd 를 상관관계 차원이라 부르고, 수치적으로는 공식 그대로 log⁡C\log C 와 log⁡ε\log \varepsilon 의 값을 비교해서 그 기울기로 결정하게 된다.

같이보기

  1. Strogatz. (2015). Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering(2nd Edition): p412. ↩︎

  2. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p181. ↩︎