상관관계 차원
정의 1 2
거리공간 $\left( X , d \right)$ 에서 집합 $S = \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} \subset X$ 의 원소를 $x \in S$ 과 같이 나타내자. 중심이 $x$ 이고 반경이 $\varepsilon > 0$ 인 오픈 볼 $B \left( x ; \varepsilon \right)$ 에 속한 $S$ 의 원소의 수를 $N_{x} ( \varepsilon )$ 이라 한다: $$ N_{x} ( \varepsilon ) := \left| B \left( x ; \varepsilon \right) \cap S \right| $$ 만약 다음과 같은 극한이 존재한다면, 이를 $x$ 에서의 점별 차원pointwise dimension at $x$이라 한다. $$ \lim_{\varepsilon \to 0} {\frac{ \log N_{x} (\varepsilon) }{ \log \varepsilon }} $$ $\varepsilon$ 가 주어져 있을 때, $C ( \varepsilon )$ 을 다음과 같이 정의한다. $$ \begin{align*} C (\varepsilon) =& {\frac{ \left| \left\{ (u, v) \in S \times S : d (u, v) < \varepsilon \right| \right\} }{ \left| S \times S \right| }} \\ =& {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{x \in S} {\frac{ N_{x} ( \varepsilon ) }{ n }} \end{align*} $$ 만약 다음과 같은 극한 $\operatorname{cordim} (S)$ 이 존재한다면, 이를 $S$ 의 상관관계 차원correlation dimension이라 한다. $$ \operatorname{cordim} (S) = \lim_{\varepsilon \to 0} {\frac{ \log C (\varepsilon) }{ \log \varepsilon }} $$
- $\left| \cdot \right|$ 는 집합의 기수다.
설명
상관관계 차원은 그 공식 상 차원의 저주를 받지 않아 박스-카운팅 차원 등의 다른 프랙털 차원에 비교했을 때 계산 상의 이점이 있다. 박스-카운팅 차원은 $X$ 의 차원이 늘어남에 따라 다뤄야 할 공간의 축이 너무 많아져서 박스를 나누는 것부터가 쉽지 않아진다.
정의 그 자체에서 집합 $S$ 가 어떤 조건을 만족해야한다고 언급하지는 않았지만, 동역학계의 관점에선 주로 맵 $x_{t+1} = f \left( x_{t} \right)$ 와 같이 표현되는 시스템에서 $n$번의 반복iteration을 통해서 얻은 트래젝터리 $S = \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\}$ 을 생각할 수 있다. 이러한 의미에서 $N_{x} (\varepsilon)$ 은 시스템의 상태가 $x$ 근방에 얼마나 자주 방문했는지를, $N_{x} (\varepsilon) / n$ 은 길이가 $n$ 인 전체 트래젝터리에 포함된 점이 $x$ 의 근처에 얼마나 오래 머무르는지를 백분률로써 나타낸다. 그리고 $S$ 전체에서 그 평균으로써 정의되는 $C (\varepsilon)$ 는 $\varepsilon = 0$ 일 때 $1 / n$, $\varepsilon = \infty$ 일 때 $1$ 의 값을 가진다: $$ \begin{align*} C ( 0 ) =& {\frac{ 1 }{ n }} \to 0 \text{ as } n \to \infty \\ C ( \infty ) =& 1 \end{align*} $$
전형적으로 이러한 $C \left( \varepsilon \right)$ 은 반경 $\varepsilon$ 에 대해 다음과 같이 멱법칙power law를 따른다고 한다. $$ C ( \varepsilon ) \approx \varepsilon^{d} $$ 이에 따라 우리는 $d$ 를 상관관계 차원이라 부르고, 수치적으로는 공식 그대로 $\log C$ 와 $\log \varepsilon$ 의 값을 비교해서 그 기울기로 결정하게 된다.