📂위상수학

한 점 컴팩트화

정의 ¹

위상공간 $(X , \mathscr{T})$ 에 대해 $\infty \notin X$ 이라고 하자. $X_{\infty} := X \cup \left\{ \infty \right\}$ 에 대해 아래의 두 조건을 만족하는 위상 $\mathscr{T}_{\infty}$ 을 정의한 $(X_{\infty } , \mathscr{T}_{\infty} )$ 를 $(X, \mathscr{T})$ 의 한 점 컴팩트화^{one-Point Compactification}이라 한다.

• (i): $\infty \notin U \implies U \in \mathscr{T}_{\infty}$ 와 $U \in \mathscr{T}$ 은 동치다.
• (ii): $\infty \in U \implies U \in \mathscr{T}_{\infty}$ 와 $X_{\infty} \setminus U$ 가 닫혀있고 컴팩트인 것은 동치다.

정리

$(X_{\infty } , \mathscr{T}_{\infty} )$ 는 다음의 성질들을 갖는다.

• [1]: $(X , \mathscr{T})$ 는 $(X_{\infty } , \mathscr{T}_{\infty} )$ 의 부분공간이다.
• [2]: $(X_{\infty } , \mathscr{T}_{\infty} )$ 는 컴팩트다.
• [3]: $\overline{X} = X_{\infty}$ 인 것과 $X$ 가 컴팩트가 아닌 것은 동치다.

설명

물론 한 점의 기호가 무한대일 뿐 어떤 크기나 상태를 나타내는 것은 아니다.

예를 들어 다음과 같이 개구간 $(0,1)$ 과 그 밖의 점 $\infty$ 를 잡아보자.

여기서 $(0,1)$ 을 ‘구부려서’ 곡선으로 만든다고 생각해보자.

주어진 구간은 양 끝점 $0$ 과 $1$ 을 포함하지 않는다. 여기서 접합부를 $\infty$ 로 이어주면 다음과 같은 모양이 된다.

이러한 폐곡선은 알다시피 컴팩트다.

$X$ 밖의 한 점을 하필 $\infty$ 로 정의하는 이유는 리만 스피어로 이어지는 논의를 생각해보면 타당하다.