📂추상대수

라그랑주의 정리 증명

정리 ¹

$H$ 가 유한군 $G$ 의 부분군이면 $|H|$ 는 $|G|$ 의 약수다.

증명

조금 생각해보면 상식적으로 성립할 수밖에 없고 증명도 그에 걸맞게 간단하다.

모든 잉여류들은 모두 같은 수만큼의 원소를 갖는다. $H$ 역시 $G$ 의 잉여류 중 하나이므로, $H$ 의 잉여류들의 기수^cardinality는 $|H|$ 이다. 잉여류들은 $G$ 의 분할을 이루므로 모든 잉여류들의 기수를 더하면 $|G|$ 이다. $H$ 의 잉여류의 갯수 $( G : H )$ 를 $r$ 이라고 하면 $$ |G| = |H| + \cdots |H| = r |H| $$ 따라서 $|H|$ 는 $|G|$ 의 약수다.

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따름정리

유한군 $G$ 에 대해 $|G|$ 가 소수면 $G$ 는 순환군이다.

예로써 소수 $p$ 에 대해서 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 볼 것도 없이 순환군이다.

반례 ²

교대군 $A_{4}$ 은 라그랑주 정리의 역에 대한 반례다.

라그랑주 정리의 역이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle | A_{4} | = {{4!} \over {2}} = 12$ 이므로 $|H| = 6$ 를 만족하는 $H \leqslant A_{4}$ 가 존재할 것이다. $A_{4}$ 는 구체적으로 다음과 같이 세 종류, 12가지의 순환군들로 이루어져 있으므로, $H$ 는 이들 중 6가지의 순환으로 이루어진다.

• 길이 $1$ 인 항등원: $$e$$
• 길이 $3$ 인 순환, $3$-순환: $$(1,2,3) \\ (1,3,2) \\ (1,2,4) \\ (1,4,2) \\ (1,3,4) \\ (1,4,3) \\ (2,3,4) \\ (2,4,3)$$
• 길이 $2$ 인 전위의 곱, 클라인 사원: $$(1,2)(3,4) \\ (1,3)(2,4) \\ (1,4)(2,3)$$ 이들과 항등원 $e$ 만 모아놓은 $V \leqslant A_{4}$ 는 클라인 사원군과 동형이다. 그러한 의미에서, 이 포스트에서는 이들을 그냥 클라인 사원이라 부르자.

이제 $H$ 가 이들 원소와 어떤 관계인지 살펴보면…

1. $H$ 는 군이므로 항등원 $e$ 를 가져야하므로, 사실 상 $5$ 개의 순환을 고르면 된다.
2. 라그랑주 정리가 성립한다고 가정 하에서는 기수가 $2$ 인 $H_{2} \subset H$ 또한 존재해야하므로, $H$ 는 클라인 사원을 적어도 하나 포함해야한다.
3. 클라인 사원은 셋 뿐이므로, $H$ 는 길이가 $3$-순환을 적어도 둘 포함해야한다.
4. $\alpha \in H$ 면 $\alpha^2 \in H$ 여야한다. 그런데 $(1,i,j)^{2} = (1,j,i)$ 이므로, $H$ 에 길이 $3$-순환이 포함된다면 반드시 짝수개만큼 존재해야한다. 항등원을 포함해야하므로 $6$ 개를 가질 순 없다.

요약하면 $H$ 는 적어도 하나의 클라인 사원과 적어도 둘의 $3$-순환을 가져야하고, 특히 $3$-순환은 짝수개만큼 가져야하므로 가능한 경우는 $3$-순환이 둘이냐 넷이냐 뿐이다. 그냥 케이스를 나눠서 생각해보자.

• Case 1. $3$-순환 둘, 클라인 사원 셋
  $$(a,b,c) \circ (a,c)(b,d) = (b,d,c) \notin H$$ $H$ 는 어떤 순환 $(a,b,c)$ 을 포함하든 모든 클라인 사원을 가지므로 위와 같이 $(b,d,c)$ 를 얻을 수 있고, 따라서 $H$ 는 순환의 곱에 대해 닫혀있지 않다.

• Case 2. $3$-순환 넷, 클라인 사원 하나
  일반성을 잃지 않고, $H$ 의 $3$-순환 중 하나를 $(a,b,c)$, 클라인 사원을 $(a,b)(c,d)$ 라 두자. 요지는 $(a,b,c)$ 에 포함되지 않은 $d$ 가 클라인 사원에는 있다는 것이다. $$ (a,b,c) \circ (a,b)(c,d) = (c,d,a) = (a,c,d) $$ 이므로, $H$ 는 정확히 $3$-순환 $(a,b,c), (a,c,b), (a,c,d), (a,d,c)$ 를 가져야한다. 그러나 $$ (a,d,c) \circ (a,b)(c,d) = (b, d, a) = (a,b,d) \notin H $$ 이므로 역시 $H$ 는 순환의 곱에 대해 닫혀있지 않다.

우리는 라그랑주 정리의 역이 성립하지 않음을 보이는 반례로 $H$ 가 군이 될 수 없음을 확인했다.

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