📂확률론

랜덤 필드의 정의

정의 ¹

집합형 정의

확률변수의 집합을 확률과정이라 한다. 파라미터 집합 혹은 인덱스 집합 $T$ 에 대해 $T$ 상에서의 확률과정 $f$ 는 $t \in T$ 에 대한 확률변수 $f(t)$ 들의 집합 $\left\{ f(t) : t \in T \right\}$ 으로써 정의된다. $T$ 가 $n$차원이고 $f$ 가 $d$차원 벡터값을 가지면 확률과정 $f$ 를 $\left( n , d \right)$ 랜덤 필드^{$( n , d )$ random field}라 한다.

함수형 정의

$n$차원 유클리드 공간을 $\mathbb{R}^{n}$, $d$차원 랜덤벡터의 집합을 $\mathbb{X}$ 라 하자. 다음과 같이 정의된 함수 $g$ 를 $\left( n , d \right)$ 랜덤 필드^{$( n , d )$ random field}라 한다. $$ g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{X} $$

설명

본질적으로 두 정의는 다르지 않고, 디테일한 부분에서 좀 더 일반적이거나 구체적인 정도의 차이만 있다. 개념만 봤을 때 랜덤 필드란 결국 확률과정의 일종일 뿐이나 그 명명에서 필드라는 느낌을 받을 수 있어야한다.

가우시안 랜덤 필드 ²

가우시안 랜덤 필드^{GRF, Gaussian Random Field}란 이름 그대로 좌표 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대응되는 확률변수가 가우시안 분포를 따르는 것이다. 예로써 2차원 평면 상에서 평균이 $0$ 이고 분산으로써 가우시안 커널 $k \left( x_{1} , x_{2} \right) = \exp \left( - \left| x_{1} - x_{2} \right|^{2} / 2 \sigma^{2} \right)$ 을 사용하는 랜덤 필드는 다음과 같이 표현할 수 있다. $$ U \sim N \left( 0 , k \left( x_{1} , x_{2} \right) \right) $$ 좌표 $\left( x_{1} , x_{2} \right) \in \mathbb{R}^{2}$ 가 무엇이든 $U$ 는 일변량 정규분포를 따르므로, 랜덤 필드의 정의에 따라 $U$ 는 $(2, 1)$ 랜덤 필드면서 가우시안 랜덤 필드기도 하다. 그림으로 보자면, 다음과 같이 어떤 점을 찍든 그에 대응하는 정규분포를 따르는 확률 변수 자체가 함수값인 함수 $U$ 인 것이다.