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L1 공간 📂르벡공간

L1 공간

정의1

함수공간 L1L^{1} 을 다음과 같이 정의한다.

L1(E):={f:EREfdm<} L^{1} (E) := \left\{ f : E \to \mathbb{R} \Big \vert \int_{E} | f | dm \lt \infty \right\}

성질

  1. L1L^{1}벡터공간이다.
  2. L1L^{1}놈 공간이다. 놈은 다음과 같이 정의된다. f1:=f(x)dx \left\| f \right\|_{1} := \int \left| f(x) \right| dx
  3. L1L^{1}완비공간이다.

설명

L1L^{1} 공간은 LpL^{p} 공간p=1p=1일 때의 특수한 경우이며, 르벡 적분가능에 대해 이야기할 때 적분가능한 함수들의 집합으로써 정의된 바 있다.

LpL^{p}공간에 대해서 일반화된 증명은 여기를 참고하자.

증명

2.

놈의 정의

VVF\mathbb{F}상에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 :VF\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}u,vV\mathbf{u}, \mathbf{v} \in VkFk \in \mathbb{F}에 대해서 다음 세 조건을 만족시키면 \left\| \cdot \right\|VV상에서의 놈이라고 정의한다.

  • 정부호: u0\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0이고 u=0    u=0\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0
  • 동질성: ku=ku\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\|
  • 삼각부등식: u+vv+u\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|

L1L ^{1}의 놈을 f1:=Efdm\displaystyle \left\| f \right\|_{1} := \int_{E} |f| dm과 같이 정의하자.

  • Part 1. 정부호

    f0| f | \ge 0이므로 f10\left\| f \right\|_{1} \ge 0거의 어디서나 f=0f = 0f1=0\left\| f \right\|_{1} = 0이다. 반대로 f1=0\left\| f \right\|_{1} = 0 이면 거의 어디서나 f=0f = 0여야한다.

  • Part 2. 동질성

    cf1=Ecfdm=cEfdm=cf1\left\| c f \right\| _{1} = \int_{E} | c f | dm = |c| \int_{E} | f | dm = |c| \left\| f \right\| _{1}

  • Part 3. 삼각부등식

    f+g1=Ef+gdmEfdm+Egdm=f1+g1 \left\| f + g \right\|_{1} = \int_{E} | f + g | dm \le \int_{E} | f | dm + \int_{E} | g | dm = \left\| f\right\|_{1} + \left\| g\right\|_{1}

3.

완비성

벡터 공간 XX에 대해 X\left\| \cdot \right\|_{X}가 정의되어 있다고 하자. 모든 ε>0\varepsilon > 0에 대해 n,mN    fnfmX<εn, m \ge N \implies \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{X} \lt \varepsilon 을 만족하는 NNN \in \mathbb{N}이 존재하면 수열 fnXf_{n} \in X코시 수열이라 한다. 만약 모든 코시 수열이 XX의 원소로 수렴하면 XX완비하다고 한다.

fnL1f_{n} \in L^{1} 을 코시 수열이라고 하면

fnfN11<12 \left\| f_{n} - f_{N_{1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2}}

를 만족하는 N1N_{1}를 잡을 수 있고, 마찬가지로

fnfN21<122 \left\| f_{n} - f_{N_{2}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^2}}

를 만족하는 N2>N1N_{2} > N_{1} 을 잡을 수 있다. 이런 방법으로 fnfNn1<12n \left\| f_{n} - f_{N_{n}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} 를 만족하는 Nn>Nn1N_{n} > N_{n-1}를 잡을 수 있다. 삼각부등식에 의해 fNnfNn11<fNnfn1+fnfNn11<12n+12n1<32n \left\| f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt \left\| f_{N_{n}} - f_{n} \right\|_{1} + \left\| f_{n} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} + {{1} \over {2^{n-1}}} \lt {{3} \over {2^{n}}}

레비의 정리

k=1fkdm<\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm \lt \inftyk=1fk(x)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)거의 어디에서나 수렴하고 다음이 성립한다.

k=1fkdm=k=1fkdm \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm

레비의 정리에 의해 n=1fNnfNn11\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} |_{1}은 수렴한다. 따라서 다음은 거의 어디서나 수렴한다.

fN1(x)+n=2k[fNn(x)fNn1(x)]=fNk f_{N_{1}}(x) + \sum_{n=2}^{ k } \left[ f_{N_{n}} (x) - f_{N_{n-1}} (x) \right] = f_{N_{k}}

여기서 우변이 f(x)f(x)에 수렴한다고 하면, 우변의 fNk(x)f_{N_{k}} (x)역시 f(x)f(x)로 수렴한다.

파투의 보조정리

함숫값이 음이 아닌 가측 함수수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\}에 대해

E(lim infnfn)dmlim infnEfndm \displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm

파투의 보조정리에 의해

ffn1=ffndmlim infkfNkfndm=lim infkfNkfn<ε \begin{align*} \left\| f - f_{n} \right\|_{1} =& \int |f - f_{n}| dm \\ \le & \liminf_{k \to \infty} \int | f_{N_{k}} - f_{n}| dm \\ =& \liminf_{k \to \infty} \left\| f_{N_{k}} - f_{n} \right\| \\ \lt& \varepsilon \end{align*}

가정에서 fnf_{n}이 코시수열이므로 임의의 ε>0\varepsilon > 0에 대해 위 부등식이 성립하고, 따라서 fnf10\left\| f_{n} - f \right\|_{1} \to 0이다. 짧게 요약하면 fnf_{n}이 코시인데 그 부분수열이 ff로 수렴하므로, fnf_{n}ff로 수렴한다. 여기서 ffnL1f - f_{n} \in L^{1}인데, L1L^{1}은 벡터 공간이므로

(ffn)+fn=fL1 ( f - f_{n} ) + f_{n} = f \in L^{1}

L1L^{1}의 모든 코시 수열이 L1L^{1}의 원소에 수렴하므로, L1L^{1}는 완비 공간이다.

같이보기


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p127. ↩︎