L1 공간
📂르벡공간 L1 공간 정의 함수공간 L 1 L^{1} L 1 을 다음과 같이 정의한다.
L 1 ( E ) : = { f : E → R ∣ ∫ E ∣ f ∣ d m < ∞ }
L^{1} (E) := \left\{ f : E \to \mathbb{R} \Big \vert \int_{E} | f | dm \lt \infty \right\}
L 1 ( E ) := { f : E → R ∫ E ∣ f ∣ d m < ∞ }
성질 L 1 L^{1} L 1 은 벡터공간 이다.L 1 L^{1} L 1 은 놈 공간 이다. 놈은 다음과 같이 정의된다.
∥ f ∥ 1 : = ∫ ∣ f ( x ) ∣ d x
\left\| f \right\|_{1} := \int \left| f(x) \right| dx
∥ f ∥ 1 := ∫ ∣ f ( x ) ∣ d x L 1 L^{1} L 1 은 완비공간 이다.설명 L 1 L^{1} L 1 공간은 L p L^{p} L p 공간 의 p = 1 p=1 p = 1 일 때의 특수한 경우이며, 르벡 적분가능에 대해 이야기할 때 적분가능한 함수들의 집합으로써 정의 된 바 있다.
L p L^{p} L p 공간에 대해서 일반화된 증명은 여기 를 참고하자.
증명 2. 놈의 정의
V V V 를 F \mathbb{F} F 상에서의 벡터공간 이라고 하자. 함수 ∥ ⋅ ∥ : V → F \left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F} ∥ ⋅ ∥ : V → F 가 u , v ∈ V \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V u , v ∈ V 와 k ∈ F k \in \mathbb{F} k ∈ F 에 대해서 다음 세 조건을 만족시키면 ∥ ⋅ ∥ \left\| \cdot \right\| ∥ ⋅ ∥ 을 V V V 상에서의 놈 이라고 정의한다.
정부호 : ∥ u ∥ ≥ 0 \left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0 ∥ u ∥ ≥ 0 이고 u = 0 ⟺ ∥ u ∥ = 0 \mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0 u = 0 ⟺ ∥ u ∥ = 0 동질성 : ∥ k u ∥ = ∣ k ∣ ∥ u ∥ \left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\| ∥ k u ∥ = ∣ k ∣ ∥ u ∥ 삼각부등식 : ∥ u + v ∥ ≤ ∥ v ∥ + ∥ u ∥ \left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\| ∥ u + v ∥ ≤ ∥ v ∥ + ∥ u ∥ L 1 L ^{1} L 1 의 놈을 ∥ f ∥ 1 : = ∫ E ∣ f ∣ d m \displaystyle \left\| f \right\|_{1} := \int_{E} |f| dm ∥ f ∥ 1 := ∫ E ∣ f ∣ d m 과 같이 정의하자.
Part 1. 정부호
∣ f ∣ ≥ 0 | f | \ge 0 ∣ f ∣ ≥ 0 이므로 ∥ f ∥ 1 ≥ 0 \left\| f \right\|_{1} \ge 0 ∥ f ∥ 1 ≥ 0 거의 어디서나 f = 0 f = 0 f = 0 면 ∥ f ∥ 1 = 0 \left\| f \right\|_{1} = 0 ∥ f ∥ 1 = 0 이다. 반대로 ∥ f ∥ 1 = 0 \left\| f \right\|_{1} = 0 ∥ f ∥ 1 = 0 이면 거의 어디서나 f = 0 f = 0 f = 0 여야한다.
Part 2. 동질성
∥ c f ∥ 1 = ∫ E ∣ c f ∣ d m = ∣ c ∣ ∫ E ∣ f ∣ d m = ∣ c ∣ ∥ f ∥ 1 \left\| c f \right\| _{1} = \int_{E} | c f | dm = |c| \int_{E} | f | dm = |c| \left\| f \right\| _{1} ∥ c f ∥ 1 = ∫ E ∣ c f ∣ d m = ∣ c ∣ ∫ E ∣ f ∣ d m = ∣ c ∣ ∥ f ∥ 1
Part 3. 삼각부등식
∥ f + g ∥ 1 = ∫ E ∣ f + g ∣ d m ≤ ∫ E ∣ f ∣ d m + ∫ E ∣ g ∣ d m = ∥ f ∥ 1 + ∥ g ∥ 1
\left\| f + g \right\|_{1} = \int_{E} | f + g | dm \le \int_{E} | f | dm + \int_{E} | g | dm = \left\| f\right\|_{1} + \left\| g\right\|_{1}
∥ f + g ∥ 1 = ∫ E ∣ f + g ∣ d m ≤ ∫ E ∣ f ∣ d m + ∫ E ∣ g ∣ d m = ∥ f ∥ 1 + ∥ g ∥ 1
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3. 완비성
벡터 공간 X X X 에 대해 놈 ∥ ⋅ ∥ X \left\| \cdot \right\|_{X} ∥ ⋅ ∥ X 가 정의되어 있다고 하자. 모든 ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 에 대해
n , m ≥ N ⟹ ∥ f n − f m ∥ X < ε n, m \ge N \implies \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{X} \lt \varepsilon n , m ≥ N ⟹ ∥ f n − f m ∥ X < ε
을 만족하는 N ∈ N N \in \mathbb{N} N ∈ N 이 존재하면 수열 f n ∈ X f_{n} \in X f n ∈ X 를 코시 수열 이라 한다. 만약 모든 코시 수열이 X X X 의 원소로 수렴하면 X X X 를 완비 하다고 한다.
f n ∈ L 1 f_{n} \in L^{1} f n ∈ L 1 을 코시 수열이라고 하면
∥ f n − f N 1 ∥ 1 < 1 2
\left\| f_{n} - f_{N_{1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2}}
∥ f n − f N 1 ∥ 1 < 2 1
를 만족하는 N 1 N_{1} N 1 를 잡을 수 있고, 마찬가지로
∥ f n − f N 2 ∥ 1 < 1 2 2
\left\| f_{n} - f_{N_{2}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^2}}
∥ f n − f N 2 ∥ 1 < 2 2 1
를 만족하는 N 2 > N 1 N_{2} > N_{1} N 2 > N 1 을 잡을 수 있다. 이런 방법으로
∥ f n − f N n ∥ 1 < 1 2 n
\left\| f_{n} - f_{N_{n}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}}
∥ f n − f N n ∥ 1 < 2 n 1
를 만족하는 N n > N n − 1 N_{n} > N_{n-1} N n > N n − 1 를 잡을 수 있다. 삼각부등식에 의해
∥ f N n − f N n − 1 ∥ 1 < ∥ f N n − f n ∥ 1 + ∥ f n − f N n − 1 ∥ 1 < 1 2 n + 1 2 n − 1 < 3 2 n
\left\| f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt \left\| f_{N_{n}} - f_{n} \right\|_{1} + \left\| f_{n} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} + {{1} \over {2^{n-1}}} \lt {{3} \over {2^{n}}}
∥ f N n − f N n − 1 ∥ 1 < ∥ f N n − f n ∥ 1 + ∥ f n − f N n − 1 ∥ 1 < 2 n 1 + 2 n − 1 1 < 2 n 3
레비의 정리
∑ k = 1 ∞ ∫ ∣ f k ∣ d m < ∞ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm \lt \infty k = 1 ∑ ∞ ∫ ∣ f k ∣ d m < ∞ 면 ∑ k = 1 ∞ f k ( x ) \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x) k = 1 ∑ ∞ f k ( x ) 는 거의 어디에서나 수렴하고 다음이 성립한다.
∫ ∑ k = 1 ∞ f k d m = ∑ k = 1 ∞ ∫ f k d m
\int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm
∫ k = 1 ∑ ∞ f k d m = k = 1 ∑ ∞ ∫ f k d m
레비의 정리에 의해 ∑ n = 1 ∞ ∣ f N n − f N n − 1 ∣ 1 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} |_{1} n = 1 ∑ ∞ ∣ f N n − f N n − 1 ∣ 1 은 수렴한다. 따라서 다음은 거의 어디서나 수렴한다.
f N 1 ( x ) + ∑ n = 2 k [ f N n ( x ) − f N n − 1 ( x ) ] = f N k
f_{N_{1}}(x) + \sum_{n=2}^{ k } \left[ f_{N_{n}} (x) - f_{N_{n-1}} (x) \right] = f_{N_{k}}
f N 1 ( x ) + n = 2 ∑ k [ f N n ( x ) − f N n − 1 ( x ) ] = f N k
여기서 우변이 f ( x ) f(x) f ( x ) 에 수렴한다고 하면, 우변의 f N k ( x ) f_{N_{k}} (x) f N k ( x ) 역시 f ( x ) f(x) f ( x ) 로 수렴한다.
파투의 보조정리
함숫값이 음이 아닌 가측 함수 의 수열 { f n } \left\{ f_{n} \right\} { f n } 에 대해
∫ E ( lim inf n → ∞ f n ) d m ≤ lim inf n → ∞ ∫ E f n d m
\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm
∫ E ( n → ∞ lim inf f n ) d m ≤ n → ∞ lim inf ∫ E f n d m
파투의 보조정리에 의해
∥ f − f n ∥ 1 = ∫ ∣ f − f n ∣ d m ≤ lim inf k → ∞ ∫ ∣ f N k − f n ∣ d m = lim inf k → ∞ ∥ f N k − f n ∥ < ε
\begin{align*}
\left\| f - f_{n} \right\|_{1} =& \int |f - f_{n}| dm
\\ \le & \liminf_{k \to \infty} \int | f_{N_{k}} - f_{n}| dm
\\ =& \liminf_{k \to \infty} \left\| f_{N_{k}} - f_{n} \right\|
\\ \lt& \varepsilon
\end{align*}
∥ f − f n ∥ 1 = ≤ = < ∫ ∣ f − f n ∣ d m k → ∞ lim inf ∫ ∣ f N k − f n ∣ d m k → ∞ lim inf ∥ f N k − f n ∥ ε
가정에서 f n f_{n} f n 이 코시수열이므로 임의의 ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 에 대해 위 부등식이 성립하고, 따라서 ∥ f n − f ∥ 1 → 0 \left\| f_{n} - f \right\|_{1} \to 0 ∥ f n − f ∥ 1 → 0 이다. 짧게 요약하면 f n f_{n} f n 이 코시인데 그 부분수열이 f f f 로 수렴하므로, f n f_{n} f n 는 f f f 로 수렴한다. 여기서 f − f n ∈ L 1 f - f_{n} \in L^{1} f − f n ∈ L 1 인데, L 1 L^{1} L 1 은 벡터 공간이므로
( f − f n ) + f n = f ∈ L 1
( f - f_{n} ) + f_{n} = f \in L^{1}
( f − f n ) + f n = f ∈ L 1
L 1 L^{1} L 1 의 모든 코시 수열이 L 1 L^{1} L 1 의 원소에 수렴하므로, L 1 L^{1} L 1 는 완비 공간이다.
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