📂추상대수

추상대수학에서의 환

정의 ¹

두 이항연산 덧셈$+$과 곱셈$\cdot$에 대해서 아래와 같은 규칙을 만족하는 집합 $R$을 환 ^Ring 이라고 정의한다.

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$a$, $b$, $c$가 $R$의 원소일 때,

1. 덧셈에 대하여 교환법칙이 성립한다. $$a+b=b+a$$
2. 덧셈에 대하여 결합법칙이 성립한다. $$(a+b)+c=a+(b+c)$$
3. 덧셈에 대한 항등원이 존재한다. $$\forall a \ \exists 0\ \ \mathrm{s.t} \ a+0=a$$
4. 모든 원소의 덧셈에 대한 역원이 존재한다. $$\forall a \ \exists -a\ \ \mathrm{s.t}\ a+(-a)=0$$
5. 곱셈에 대해서 결합법칙이 성립한다. $$(ab)c=a(bc)$$
6. 덧셈과 곱셈에 대해서 분배법칙이 성립한다. $$a(b+c)=ab+ac\ \mathrm{and} \ (b+c)a=ba+ca$$

설명

요약하자면 집합 $R$이 덧셈에 대한 가환군이고 곱셈에 대한 반군이고 두 연산에 대해 분배법칙이 성립할 때 $R$을 환이라 한다는 것이다.

특별히 곱셈에 대해서도 교환법칙이 성립하면 가환환^{commutative ring, abelian ring}이라 한다. 또한 환의 정의를 보면 알 수 있듯이 곱셈에 대한 항등원이나 역원이 존재할 필요가 없다. 항등원이 존재한다고 해도 역원이 존재할 필요 또한 없다. 있던지 말던지 위의 6가지 조건만 만족하면 환이라고 한다.

우리는 군을 다룰 때 연산에 대한 항등원을 $e$라고 표현다. 환에서는 연산이 2개이므로 어느 연산에 대한 항등원인지 쉽게 알기위해 다른 기호를 쓴다. 덧셈에 대한 항등원은 $0$으로 쓰고 항등원^identity이라 한다. 곱셈에 대한 항등원이 존재하면 $1$으로 쓰고 단위원^unity이라 한다. 임의의 원소 $a$의 곱셈에 대한 역원이 존재할 때 $a$를 환 $R$의 단원^unit이라 한다.

군에서와 마찬가지로 환의 곱셈에 대한 항등원 역시 존재하면 유일하다. 각 원소의 역원 또한 존재하면 유일하다. 이에 대한 증명은 군에서 했던 방법과 같으므로 따로 적지 않겠으니 여기를 참고하자.

예시

정수의 집합 $\mathbb{Z}$를 생각해보자.위의 6가지 조건을 만족시키므로 덧셈, 곱셈에 대한 환이다. 또한 곱셈에 대해서 교환법칙까지 만족하므로 가환환이다. 단위원 $1$이 존재하고 그 원소는 정수1이며 단원은 1과 -1이다.(각각 1과 -1을 역원으로 갖는다)

주의사항

환에서는 곱셈에 대한 항등원과 역원이 존재할 '필요'가 없다.따라서 군에서와 같이 함부로 소거할 수 없다. 무슨 말이냐 하면 $a,\ b,\ c$가 환 $R$의 원소일 때, $ab=ac$라고 해서 $b=c$라는 결론을 함부로 내릴 수 없다는 말이다. $a$의 역원이 반드시 존재하는 것이 아니기 때문이다.

마찬가지로 $a^2=a$라고 해서 함부로 $a=0$이나 $a=1$이라는 결론을 내리는 것도 불가능하다. 환을 다룰 때 이 점을 유의하자.